Autor Tema: Teorema del Triángulo (Mat Discreta)

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03 Junio, 2005, 12:23 am
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Ocean_Soul

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Buenas....
Me darían alguna pista de como resolver este
Ejer: Utilizar que h:Z---->Z2 X Z3 talque h(a)=([a]2 , [a]3) es un homomorfismo y el teorema del triángulo para demostrar que Z2 X Z3  es isomorfo a Z6.

Nota 1: [a]X es la calse de a en ZX.
Nota 2: ZX es clase en Z modulo X.
Nota 3: El teorema del triángulo: Sea f:A---->B una función y  Rf la relación de equivalencia asociada a f, A/Rf (el conjunto cociente). Y q:A--->A/Rf /a(x)=Cx (la aplicación canónica a la que cada elemento le hace corresponder su clase de equivalencia). Entonces existe un único homomorfismo H:A/Rf----->B / h(Cx)=h(x).

Lo enuncié para que nadie se confunda....

Yo empecé hallando la Relación de equivalencia que me dio asi:
a Rf b <----> f(a)=f(b) <-----> ([a]2 , [a]3) = (2 , 3)   <-------> [a]2 =2 y [a]3 = 3 <-----> a es congruente con b módulo 2 y a es congruente con b módulo 3.

Pero... ¿para qué me sirve?

No entiendo.

 ;D ??? ;D ???





03 Junio, 2005, 01:00 pm
Respuesta #1

carsecor

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No sé exactamente como quieren que lo hagas, pero así sale muy fácil :
       i                        j
Z_6 -----> Z_2 x Z_3 -----> Z_6


i( [a]_6 ) = h (a)  con  h : Z -----> Z_2 x Z_3 tal como la habías definido.

Ahora, h(a)= ([a]_2 , [a]_3 ) por el teorema chino del resto existe un único elemento a de Z_6  tal que cumple el sistema, que es precisamente el [a]_6 de partida (puesto que por construcción ya lo cumplía, y por unicidad se sigue).  Luego j ( h(a)) = [a]_6
                         
                                       j              i
Lo mismo con   Z_2 x Z_3 -----> Z_6 -----> Z_2 x Z_3

Luego j = i^(-1) 

Por lo tanto, 1 - Sabías que era homomorfismo, 2 - Es biyectiva . Luego es un isomorfismo.

03 Junio, 2005, 08:48 pm
Respuesta #2

narun

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Si es obligatorio que uses el "teorema del triángulo" entonces yo empezaría así:

Construye el diagrama conmutativo correspondiente al teorema. Con la función "h", la proyección \( \pi \) sobre Z6 y la correspondiente f de Z6  en Z2xZ3

Por el teorema, sabemos que f es sobreyectiva (por serlo "h" y conmutar)
Ahora, intenta probar que f es inyectiva usando la conmutatividad también. (por ejemplo por reducción al absurdo)

Un saludo

Lástima II  ¡¡ PSTCPHJT !!  resultaba una expresión muy animosa