[Beautyofmaths]

Hola, leyendo una demostración de la convexidad del interior de un conjunto convexo, he visto un paso que no entiendo (en el libro se denotan las bolas por \( B(x,r)=x+r\mathbb{B} \), donde \( \mathbb{B} \) es la bola unidad centrada en el origen):

\( (1-\alpha)x+\alpha y+r\mathbb{B}=(1-\alpha)(x+r\mathbb{B})+\alpha(y+r\mathbb{B}) \)

Entonces he tratado a partir de esto  probar que, dados \( x,y \in \mathbb{R}^n \) y dados \( \alpha,\beta \in \mathbb{R}, \) se cumple que
 \( B(\alpha x + \beta y,r)=\alpha B(x,r)+\beta B(y,r) \), donde \( r \) es el radio de las bolas. He pensado probarlo por doble inclusión a partir de la definición de bola abierta pero me resulta difícil formalizarlo. Además, tampoco tengo clara su visión geométrica. Agradezco la ayuda.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, leyendo una demostración de la convexidad del interior de un conjunto convexo, he visto un paso que no entiendo (en el libro se denotan las bolas por \( B(x,r)=x+r\mathbb{B} \), donde \( \mathbb{B} \) es la bola unidad centrada en el origen):

\( (1-\alpha)x+\alpha y+r\mathbb{B}=(1-\alpha)(x+r\mathbb{B})+\alpha(y+r\mathbb{B}) \) (*)

Entonces he tratado a partir de esto  probar que, dados \( x,y \in \mathbb{R}^n \) y dados \( \alpha,\beta \in \mathbb{R}, \) se cumple que
 \( B(\alpha x + \beta y,r)=\alpha B(x,r)+\beta B(y,r) \), donde \( r \) es el radio de las bolas. He pensado probarlo por doble inclusión a partir de la definición de bola abierta pero me resulta difícil formalizarlo. Además, tampoco tengo clara su visión geométrica. Agradezco la ayuda.

\( B(\alpha x+\beta y,r)=\alpha x+\beta y+r\Bbb B=(\alpha+\beta)((1-t)x+t y+r'\Bbb B) \)

con \( t=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta} \) y \( r'=\dfrac{r}{\alpha+\beta} \).

Usando (*):

\( (\alpha+\beta)((1-t)x+t y+r'\Bbb B)=(\alpha+\beta)((1-t)(x+r'\Bbb B)+t(y+r'\Bbb B))=\\\qquad =\alpha(x+ r'\Bbb B)+\beta(y+r'\Bbb B)=\alpha  B(x,\color{red}\alpha r'\color{black})+\beta B(x,\color{red}\beta r'\color{black}) \)

Saludos.

CORREGIDO

[Beautyofmaths]

Creo que me he expresado mal, lo que yo no entiendo y quería probar era justamente la expresión del asterisco. O sea, la otra propiedad era lo que he entendido que se deducía de eso y que en general era cierto, pero creo que solo es válido cuando los escalares suman 1. Perdón por la confusión.

[Beautyofmaths]

Creo que se llega utilizando que, si \( X \) es convexo, entonces \( X=(1-\alpha )X+\alpha X \) con \( \alpha \in [0,1] \). Entonces, aplicando esto al conjunto convexo \( X=B(x,r) \), llegamos a \( (1-\alpha)B(x,r)+\alpha B(x,r)=B(x,r)=B((1-\alpha)x+\alpha x,r) \). Pero claro, falta introducir el \( y \). No sé si esto puede servir.

[Luis Fuentes]

Hola
 
 Tienes razón cometí un error y el resultado que yo puse no es cierto en general. Hace falta \( \alpha+\beta=1 \).

Creo que se llega utilizando que, si \( X \) es convexo, entonces \( X=(1-\alpha )X+\alpha X \) con \( \alpha \in [0,1] \). Entonces, aplicando esto al conjunto convexo \( X=B(x,r) \), llegamos a \( (1-\alpha)B(x,r)+\alpha B(x,r)=B(x,r)=B((1-\alpha)x+\alpha x,r) \). Pero claro, falta introducir el \( y \). No sé si esto puede servir.

 Vale si lo aplicas a la bola unidad \( \Bbb B \):
 
 \( \Bbb B=(1-\alpha)\Bbb B+\alpha \Bbb B \)

 Tienes que:

\( (1-\alpha)x+\alpha y+r\Bbb B =(1-\alpha)x+\alpha y+r((1-\alpha)\Bbb B+\alpha \Bbb B)=(1-\alpha)(x+r\Bbb B)+\alpha(y+r\Bbb B)
 \)

 La idea geométrica es la que ves en el dibujo. Puedes mover los puntos \( x,y \) y modificar \( \alpha,r \).


 La bola verde es \( B((1-\alpha )x+\alpha y),r) \) y puedes mover los puntos rojos por donde quieras en las dos bolas originales y ver que su combinación lineal convexa no se sale de la bola verde.

Saludos.

[Beautyofmaths]

De acuerdo, muchas gracias.

[franma]

Hola ,

Espero no molestar, por si te llega a interesar una prueba alternativa, aquí va:

Observemos que la función \( M_\lambda:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) dada por \( M_\lambda(x)=\lambda x \) con \( \lambda\neq 0 \) es un homeomorfismo, luego si \( C\subset \mathbb{R}^n \) se tiene que \( M_\lambda(C^\circ)=(M_\lambda(C))^\circ \), es decir, \( \lambda C^\circ=(\lambda C)^\circ \)

Ahora, si \( C\subset \mathbb{R}^n \) es convexo (*) y \( t\in [0,1] \) se tiene que:

• Si \( t=0 \) o \( t=1 \) claramente tenemos que \( tC^\circ + (1-t)C^\circ=C^\circ \)
• Si \( t\in (0,1) \) tenemos que \( tC^\circ + (1-t)C^\circ=(tC)^\circ+((1-t)C)^\circ\subseteq tC+(1-t)C\subseteq_{(*)} C \), además se tiene que \( tC^\circ + (1-t)C^\circ \) es abierto por ser suma de abiertos, luego por definición de interior se tiene que \( tC^\circ + (1-t)C^\circ\subseteq C^\circ \)

Es decir, para todo \( t\in [0,1] \) se tiene que \( tC^\circ + (1-t)C^\circ\subseteq C^\circ \), luego \( C^\circ \) es convexo.

Un saludo,
Franco.