Autor Tema: Homomorfismo entre Grupos. Demostración

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25 Mayo, 2005, 07:57 pm
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Ocean_Soul

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Saludos, necesito que alguien me diga si esta demostración está mal (y si está bien también...  ;D)

Ejer: (A, *) \( \in \) grupo.
        Si h:A---->A tal que h(x)=x*x entonces h \( \in \) Hom(A,A) si y solo si (A,*) \( \in \) Grupo abeliano. {Aclaración: '*' denota operación, no multiplicación ni nada, sólo una operación definida en A}

Desarrollo;
---->
H) (A,*) \( \in \) Grupo abeliano.
T) h \( \in \) Hom(A,A)

Dpq' (debo probar que): h(x*y) = h(x)*h(y). 
Demost:
           h(x*y)=x*y*x*y=x*x*y*y=(x*x)*(y*y)=h(x)*h(y). Por lo tanto h \( \in \) hom(A,A).
<-----
H) h \( \in \) Hom(A,A)
T) (A,*) \( \in \) Grupo abeliano.

Dpq': \( \forall \)x,y \( \in \) A: x*y=y*x.
Demost:
       x*y=x*y*e <----> h(x*y)=h(x*y*e) <---> x*y*x*y= x*y*e*x*y*e <---> y*x*y = y*e*x*y*e
       <-----> y*x=e*x*y*e = e*e*x*y=x*y.
       Luego y*x=x*y <---> x*y=y*x.
Fin.
Está mal?

25 Mayo, 2005, 08:23 pm
Respuesta #1

carsecor

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x*y=x*y*e <----> h(x*y)=h(x*y*e)

Eso sólo puede ser si h es INYECTIVA.

Supon un grupo en el que existen x distinto de y tal que x^2 = y^2 , entonces no se daría lo que afirmas. Por ejemplo, en Z/6Z  , [2] y [4] son distintos, pero [2]^2 = [4]  y [4]^2 = [16] =[4]  ---> [2]^2^= [4]^2 .
----------------------------------------------------------------------
Recuerda que si tu hipótesis es que h es HOMOMORFISMO, tienes que utilizarla.

Una demostración en ese sentido :


(<---)

h(x*y) = h(x)*h(y) (por ser h homomorfismo)  --> x*y*x*y = x*x*y*y --> y*x*y=x*y*y --> y*x =x*y --> A abeliano.



25 Mayo, 2005, 09:48 pm
Respuesta #2

Ocean_Soul

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ahhhhhhhhhhhh si tenes razon. Gracias por contestar. Pero... no entiendo tu controejemplo

"Supon un grupo en el que existen x distinto de y tal que x^2 = y^2 , entonces no se daría lo que afirmas.
 Por ejemplo, en Z/6Z  , [2] y [4] son distintos, pero [2]^2 = [4]  y [4]^2 = [16] =[4]  ---> [2]^2^= [4]^2 . "

Z/6Z  , [2] y [4] son distintos, pero [2]^2 = [4]  y [4]^2 = [16] =[4]  ---> [2]^2^= [4]^2 .   ???




Nota: se que 2^4=2*2*2*2=16. (se que ^ denota potencia)...


25 Mayo, 2005, 10:23 pm
Respuesta #3

León

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En realidad me parece el problema de la demo no está exactamente ahi dónde señala Carsecor (si uno se fija bien, se ve que las dos afirmaciones "x*y*e=x*y" y "h(x*y*e)=h(x*y)" son ambas tautológicas así que sí son equivalentes aunque den la impresión de utilizar la inyectividad de h) sino un poco mas abajo donde dices:

Citar
                                                          ... <---> y*x*y = y*e*x*y*e
       <-----> y*x=e*x*y*e = e*e*x*y=x*y.

En ese paso parece que estás 'simplificando' la y de la derecha del término izquierdo con la y de la izquierda del término derecho. Pero piensa que lo que intentas demostrar, justamente, es que el grupo es abeliano... todo lo que sabes es que es un grupo y para 'simplificar' solo puedes operar por elementos inversos a izquierda (o a derecha, en los dos por igual) en ambos miembros.

La demostración que da Carsecor es límpida, pero viendo que este punto es justamente el que no está del todo claro quizás conviene hacer las simplificaciones operando explícitamente con la inversa de x a izquierda y la inversa de y a derecha (en los últimos dos pasos).

26 Mayo, 2005, 01:25 am
Respuesta #4

Ocean_Soul

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ok, ya entedi. Igual no habia usado la hipotesis que decir que h \( \in \) hom(A,A)....
Bueno, la cuestion es que estoy por rendir un coloquio y tengo que practicar estas demostraciones.

Por esto pido ayuda denuevo con este:
Ejer: Sean (A, *) \( \in \) Grupo y (B, °) \( \in \) grupo y h \( \in \) hom(A,B) entonces \( \forall \)x \( \in \) A : h(xn)=[h(x)]n con n \( \in \) \( \mathbb{N} \).

Gracias de antemano !!!



26 Mayo, 2005, 12:47 pm
Respuesta #5

teeteto

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Hola...piensa en qué significa xn y como se comporta un homomorfismo con los productos.

Un saludo
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

26 Mayo, 2005, 01:01 pm
Respuesta #6

carsecor

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Cierto Leon, me había confundido ese si y sólo si (<-----> ) que no es tal. De todos modos, el fallo está donde dices. Ahi no hay discusión. Utilizando que h es homomorfismo como indiqué está resuelto el asunto.

Con respecto a mi ejemplo :   Supongo que conoces el grupo Z/6Z  :  son los enteros módulo 6. Entonces 16 es congruente modulo 6 con 4, ya que 16 - 4 = 2*6 . Luego la clase del 16 es 4 , lo que indico como [16] =[4] , que también es la clase de 2 al cuadrado (obviamente).

26 Mayo, 2005, 04:20 pm
Respuesta #7

Ocean_Soul

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ahhh, ya te entiendo carsecor, esque tu notacion me confundio...  :o

Como sea.
Teeteto??? vos te refieris a que:
e0=1; a1=a de que an+1=an*a si n>0 y que an=a-1n, con n<0 ?? ?? ('*' = operado)

Realmente no se ni como empezar... Lo he intentado muchas veces pero no se como sacar el exponente afuera de la h.
O sea siempre quedo en h(an*a) = a muchas cosas mas, pero no se como saco la n, que es el exponente.




26 Mayo, 2005, 05:43 pm
Respuesta #8

carsecor

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Hazlo por inducción sobre n.

n=2

h (a^2) = h (a*a) = h(a)*h(a) por ser h homorfismo

Si supones para n-1  cierto tienes (1)   h(a^(n-1)) = h(a)^(n-1)  .   

Sea h(a^n) = h ((a^(n-1))*a) = h (a^(n-1))*h(a) por h homom ,y aplicando H.I (1) --> h(a^n) = [h(a)^(n-1)]*h(a) = h(a)^n.


26 Mayo, 2005, 10:58 pm
Respuesta #9

Ocean_Soul

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ahhhhhhh si; no ve me habia ocurrido...
uff....
      como hacen para darse cuenta que usar?????? IRealmente siento que nunca voy a ser capaz de poder realizar estos ejercicios. Son tan diversos...  :-\