[Minmind]

Hola a todos.

Tengo que demostrar el teorema de Cardano (en el caso \( x^3 = 3px + 2q  \)) y he llegado a la solución \(  x = \sqrt[3]{q + \sqrt[ ]{q^2 - p^3}} + \sqrt[3]{q - \sqrt[ ]{q^2 - p^3}} \). A partir de esto debo probar que las otras dos soluciones de la ecuación son:

\( x_2 = S_+w_+ + S_-w_-  \) y \(  x_3 =  S_+w_- + S_-w_+   \)

Donde \( S_{\pm{}} = \sqrt[3]{q \pm{} \sqrt[ ]{q^2 - p^3}}  \) y \(  \ w_\pm{} = e^{\pm{2i\pi/3}} \)

Me gustaría saber cómo se desarrolla este paso. Muchas gracias por su atención.

[Fernando Revilla]

Tengo que demostrar el teorema de Cardano (en el caso \( x^3 = 3px + 2q  \)) y he llegado a la solución \(  x = \sqrt[3]{q + \sqrt[ ]{q^2 - p^3}} + \sqrt[3]{q - \sqrt[ ]{q^2 - p^3}} \).

Veamos, esa expresión no define una solución de la ecuación. Se tiene que verificar además que si \( \alpha \) es una de las raíces cúbicas del primer sumando y \( \beta \) una del segundo, entonces \( \alpha\beta=p \).

A partir de esto debo probar que las otras dos soluciones de la ecuación son:

\( x_2 = S_+w_+ + S_-w_-  \) y \(  x_3 =  S_+w_- + S_-w_+   \)

Donde \( S_{\pm{}} = \sqrt[3]{q \pm{} \sqrt[ ]{q^2 - p^3}}  \) y \(  \ w_\pm{} = e^{\pm{2i\pi/3}} \)

Me gustaría saber cómo se desarrolla este paso. Muchas gracias por su atención.

Mira https://fernandorevilla.es/2014/11/29/ecuacion-de-tercer-grado/ (Teorema 4). Sólo tienes que sustituir \( p \) por \( -3p \) y \( q \) por \( -2q \).