Otra forma sería trabajar con restos, es decir tenemos que \( 6\mid n^3 +5n\Leftrightarrow [n]^3_6+[5n]_6=[0]_6 \) donde \( [k]_j \) son las clases de equivalencia en \( \mathbb{Z}/j\mathbb{Z} \). Además por el teorema chino del resto sabemos que el anillo \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) es isomorfo al anillo \( (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \), es decir, que debe darse el caso de que(*)
\( \displaystyle{
[n]^3_j+[5n]_j=[0]_j\quad \text{ para }j\in \{2,3\}\tag1
} \)
Claramente tenemos que \( [n]_2^3=[n]_2 \) y que \( [5n]_2=[4n]_2+[n]_2=[0]_2+[n]_2=[n]_2 \), por tanto tenemos que
\( \displaystyle{
[n]_2^3+[5n]_2=[n]_2+[n]_2=[2n]_2=[0]_2\tag2
} \)
O dicho de otro modo: siempre se da el caso de que \( 2\mid n^3+5n \).
Por otro lado se puede comprobar fácilmente que \( [n]_3^3=[n]_3 \) y además tenemos que \( [5n]_3=[3n]_3+[2n]_3=[2n]_3 \), por tanto
\( \displaystyle{
[n]^3_3+[5n]_3=[n]_3+[2n]_3=[3n]_3=[0]_3\tag3
} \)
Es decir, que siempre se da el caso de que \( 3\mid n^3+5n \). Al haber demostrado (1) ya hemos acabado.∎
(*)
El teorema chino del resto no es más que observar que si \( r=n\cdot m \) siendo \( n \) y \( m \) primos relativos entonces \( r\mid q\Leftrightarrow (n\mid q)\,\land\, (m\mid q) \). De ahí luego se puede demostrar la isomorfía de anillos entre \( \mathbb{Z}/r\mathbb{Z} \) y \( (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \). En cualquier caso nosotros sólo necesitamos saber para este ejercicio que (1) se cumple.
