Hola
Voy a calcular el momento de inercia de un triángulo isosceles rojo, ver figura, respecto el eje X, después recordaré el teorema de Steiner para que puedas aplicarlo al cualquier eje paralelo.
Tomamos un área diferencial, rellena de amarillo, de base 2x, altura dy, por tanto area 2xdy.
Puedes observar que el triángulo rojo es semejante al de base 2x y altura y, por tanto podemos establecer la siguiente relación de semejanza
\( \displaystyle\frac{b}{h}=\displaystyle\frac{2x}{y}\Rightarrow{x=\displaystyle\frac{by}{2h}} \)
El momento de inercia del rojo respecto a X, es
\( I_x=\displaystyle\int_{0}^{h}y^22xdy=\displaystyle\int_{a0}^{h}\displaystyle\frac{by^3}{h}dy=\displaystyle\frac{bh^3}{4} \)
Como puedes ver en el gráfico el eje X´pasa por el Centro de gravedad , nos dice Steiner, el M de I respecto de cualquier eje es igual al M de I respecto de un eje paralelo que pase por el cdg más el producto de la masa total, en este caso superficie total, por el cuadrado de la separación entre ambos ejes, en este caso \( \displaystyle\frac{2h}{3} \)
\( I_x=I_x^{\prime}+ \displaystyle\frac{bh}{2}\displaystyle\frac{4h^2}{9}\Rightarrow{I_x^{\prime}=\displaystyle\frac{bh^3}{36}} \)
Conocido el MI respecto a X´puedes aplicarlo sobre cualquier eje paralelo, si te encaja en tu ejercicio porque no has puesto ningún dibujo.
Saludos
Nota.- Si entiendes este procedimiento y te resulta útil en tu ejercicio, en el supuesto de que al aplicarlo te dé un resultado diferente al que tienes, consulta si ese resultado puede ser una errata
