Buenas tengo que resolver el siguiente ejercicio, no se ya como abordarlo
Sean \( A=\{x\in \mathbb{Z}:\exists n\in \mathbb{Z}(x=7n+2)\} \) y \( B=\{x\in \mathbb{Z}:\exists n\in \mathbb{Z}(x=7n-5)\} \). Probar que \( A=B \).
Probar que: \( A\times B=B\times A \Leftrightarrow A=B\,\lor\, A= \varnothing \,\lor\, B= \varnothing \).
Y sea \( \{{A}_i\}_{i\in I} \) una familia indizada de conjuntos, probar que: \( \bigcap_{i\in I}(p(A_i))= p(\bigcap _{i\in I}(A_i)) \).
Todos estos enunciados son parámetros a buscar de los conjuntos base, no encuentro manera de resolverlo ya por mi cuenta, ya he intentado por leyes de conjuntos y por demostración directa y no logro obtener resultado, ¿es cosa mía o el ejercicio no tendrá solución? Cualquier orientación sería de mucha ayuda. También note que el ejercicio tendría solución si la variable \( n \) no fuera la misma en los dos conjuntos.
Moderación: corregido \( \LaTeX \) y ortografía.
Son tres ejercicios diferentes. Respecto al primero, la \( n \) de la primera definición en \( A \) nada tiene que ver con la de la definición en \( B \), son variables que, de causalidad, se han representado con la misma letra, pero son variables diferentes ya que aparecen en definiciones de dos objetos matemáticos diferentes.
Cuando se quiere demostrar que dos conjuntos son iguales se suele hacer en dos partes, una es demostrando que si \( x\in A \) entonces \( x\in B \), y la otra haciendo lo contrario, demostrando que si \( x\in B \) entonces \( x\in A \). Espero que con esas indicaciones puedas terminarlo.
Para el segundo: demostrar que
\( \displaystyle{
A\times B=B\times A\iff (A=B\,\lor\, A=\emptyset \,\lor\, B=\emptyset )
} \)
La demostración en la dirección \( \Leftarrow \) es trivial y te la dejo a ti, sólo tienes que aplicar la definición de producto cartesiano de dos conjuntos para hallar qué es \( A\times B \) cuando alguno de los dos conjuntos implicados es vacío. Para demostrar la dirección \( \Rightarrow \) es más sencillo demostrar la implicación contrapositiva, es decir, demostrar que
\( \displaystyle{
(A\neq B\,\land\, A\neq \emptyset \,\land\, B\neq \emptyset )\implies A\times B\neq B\times A
} \)
Si \( A\neq B \) entonces tienes dos casos posibles: o bien existe \( x\in A \) tal que \( x \notin B \), o viceversa. Te lo dejo así a ver si consigues resolverlo.
Para el tercer ejercicio: asumo que \( p \) es una función, entonces tienes que demostrar que si \( y\in p(\bigcap_{i\in I}A_i) \) entonces \( y\in \bigcap_{i\in I}p(A_i) \), y viceversa. En principio si \( y\in f(B) \), para alguna función \( f \) y conjunto \( B \), entonces existe al menos un \( x\in B \) tal que \( f(x)=y \). Te lo dejo así a ver si sabes resolverlo.
Cualquier cosa pregunta de nuevo. Y la próxima vez, por favor, un solo ejercicio por tema.
