Buenos días a todos, estoy intentando entender la demostración del Teorema de clasificación de variedades conexas de dimensión 1 dada en el apéndice del libro "Topology from a differentiable point of view"(Adjunto hojas del libro) y tengo las siguientes dudas:
Toma dos parametrizaciones por longitud de arco \( f:I\to M \), \( g:J\to M \). Luego afirma que \( g^{-1}\circ f \) tiene derivada \( \pm 1 \).
\( d(g^{-1}\circ f)_s=dg^{-1}_{f(s)}(df_s) \), luego
\( d(g^{-1}\circ f)_s(1)=dg^{-1}_{f(s)}(df_s(1))=[dg_{g^{-1}(f(s))}]^{-1}(df_s(1)) \),
\( |d(g^{-1}\circ f)_s(1)|=\|[dg_{g^{-1}(f(s))}]^{-1}(df_s(1))\| \),
(1) De ahí cómo llego a que su derivada es más o menos 1?
(2) Qué información me da \( \Gamma \) respecto a \( f(I)\cap g(J) \)?
(3)Por qué sólo puede haber a lo más uno de esos segmentos en cada lado del rectángulo IxJ?
(4) Para pegar \( f \) con \( g\circ L \) se usa el lema del pegado para funciones continuas?
(5) por qué \( F \) es parametrización por longitud de arco?
(6)Por qué traslada el intervalo J a la recta horizontal?
(7)Cómo pruebo que \( \theta\in<0,2\pi> \) y que h está definida en la intersección? \( \)
Podrían darme alguna sugerencia?
Muchas gracias.
