Autor Tema: Procesos estocasticos (CMFTDH)

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15 Junio, 2022, 05:36 am
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Jambo

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Buenas! Podrían ayudarme con el siguiente ejercicio? Tendo dudas al interpretar la letra :(

Considere un sistema de telecomunicaciones digital, que consiste en un transmisor que envía información a un receptor mediante una secuencia de símbolos formada por 0's y 1's, transmitidos en intervalos fijos. Se sabe que la probabilidad de que el proximo simbolo sea 1 es homogenea en el tiempo, de valor esperado \( p \) (con \( 0<p<1 \)) y no depende de los valores antes transmitidos. Se pide describir como una cadena de Markov finita de tiempo discreto homogenea (CMFTDH) al proceso que identifica secuencias con hasta dos simbolos transmitidos. Identificar estados, matriz de transicion y grafo asociado. Se requiere capturar el proceso desde el instante en que se enciende el transmisor, donde se debe asumir que la cadena esta en el estado \( ∅  \) (sin simbolos).

Lo que me esta costando sacar son las probabilidades para "moverme" entre los estados. Me dan el dato del valor esperado (la esperanza?) pero a partir de eso no estoy pudiendo conseguir las probabilidades

Quizas es algo tonto pero aplicando la definicion de esperanza no me esta saliendo  :'(

Agradezco cualquier ayuda que puedan brindarme :)

15 Junio, 2022, 06:11 am
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas! Podrían ayudarme con el siguiente ejercicio? Tendo dudas al interpretar la letra :(

Considere un sistema de telecomunicaciones digital, que consiste en un transmisor que envía información a un receptor mediante una secuencia de símbolos formada por 0's y 1's, transmitidos en intervalos fijos. Se sabe que la probabilidad de que el proximo simbolo sea 1 es homogenea en el tiempo, de valor esperado \( p \) (con \( 0<p<1 \)) y no depende de los valores antes transmitidos. Se pide describir como una cadena de Markov finita de tiempo discreto homogenea (CMFTDH) al proceso que identifica secuencias con hasta dos simbolos transmitidos. Identificar estados, matriz de transicion y grafo asociado. Se requiere capturar el proceso desde el instante en que se enciende el transmisor, donde se debe asumir que la cadena esta en el estado \( ∅  \) (sin simbolos).

Lo que me esta costando sacar son las probabilidades para "moverme" entre los estados. Me dan el dato del valor esperado (la esperanza?) pero a partir de eso no estoy pudiendo conseguir las probabilidades

Quizas es algo tonto pero aplicando la definicion de esperanza no me esta saliendo  :'(

Agradezco cualquier ayuda que puedan brindarme :)

Si entiendo bien el proceso estocástico base es una sucesión de variables aleatorias con distribución de Bernoulli idénticamente distribuidas e independientes (al no depender el valor actual de valores anteriores). Como la esperanza de una v.a. con distribución de Bernoulli coincide con la probabilidad del estado \( 1 \) ya tienes la distribución de cada una.

Ahora bien, si he entendido bien, el proceso que te piden que describas es aquel en el que las anteriores v.a. van en pares, igualmente no me queda del todo claro ya que no sé a qué se refiere con "hasta dos". Supongamos que el proceso es uno en donde las v.a. de Bernoulli van en pares, entonces los estados del proceso serían cuatro: \( (0,0),\,(0,1),\, (1,0) \) y \( (1,1) \).

Con lo dicho seguro puedes determinar la matriz asociada y el grafo.

Añado: ojo, ir en pares se puede interpretar de, al menos, dos formas diferentes: podemos definir el proceso estocástico \( \{Y_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) como \( Y_n:=(X_n,X_{n+1}) \), donde la sucesión \( \{X_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) son la de las v.a. de Bernoulli antes mencionada, o bien \( Y_n:=(X_{2n-1},X_{2n}) \). Como cadena de Markov tiene más sentido considerar el primer caso.