Autor Tema: Cota para esperanza

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30 Mayo, 2022, 07:29 pm
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Eparoh

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Hola a todos, tengo una pregunta que igual es un poco tonta, pero la planteo por aquí igualmente porque me lo ha preguntado un alumno y no he sabido responderla aunque en principio me parecía que la respuesta era claramente no, porque no veía relación.

Si \( X \) es una variable aleatoria continua con función de distribución \( F \) y \( F(1)=1 \), ¿podemos asegurar que \( E(X) < 1 \) o que \( E(X) \leq 1 \)?

No se por qué, pero tengo la sensación de que es una tontería, pero se me escapa algo... A ver si alguien por aquí puede iluminarme  ;D

Un saludo y gracias por las respuestas

30 Mayo, 2022, 09:31 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Sí. Que sea continua o no es indiferente. La idea es que si \( F(1)=1 \), tienes que \( P(X \leq 1)=1 \), luego \( P(X>1)=0 \). Pero entonces,
\( E[X] = \int_{\Bbb R} x dF = \int_{-\infty}^1 x dF + \int_1^\infty x dF \leq 1 \int_{-\infty}^1 dF = 1 \), ya que la segunda integral es \( 0 \) y \( \int_{-\infty}^1 dF = 1 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Mayo, 2022, 10:15 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Sí. Que sea continua o no es indiferente. La idea es que si \( F(1)=1 \), tienes que \( P(X \leq 1)=1 \), luego \( P(X>1)=0 \). Pero entonces,
\( E[X] = \int_{\Bbb R} x dF = \int_{-\infty}^1 x dF + \int_1^\infty x dF \leq 1 \int_{-\infty}^1 dF = 1 \), ya que la segunda integral es \( 0 \) y \( \int_{-\infty}^1 dF = 1 \).

¡Muchas gracias! Vaya despiste más tonto he tenido con la última desigualdad...  ::)

PD. Supongo que lo de que la variable sea continua (más añadir que tiene función de densidad de probabilidad, aunque eso se me ha olvidado añadirlo) será porque al ser una pregunta para un curso inicial, aun no se ha estudiado como integrar respecto a otras medidas.