Autor Tema: problema de eventos independientes

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14 Mayo, 2022, 05:08 am
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delmar

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Hola estimados foristas

Presento un problema y su resolución, en que no llego a la respuesta

Problema :
Suponiendo que un estudiante cursa 4 asignaturas, durante un determinado semestre y que sus probabilidades de obtener A son 0.2, 0.5, 0.1, 0.7 respectivamente a esas asignaturas

a) ¿Cuál es la probabilidad que obtentan solamente A?
b) ¿Cuál es la probabilidad que obtenga exactamente 3, A?
¿Se puede cuestionar la manera de responder las interrogantes?

Resolución :

Suceso aleatorio constituye las calificaciones de 4 asignaturas (asignaturas 1,2,3,4)
Determina el suceso aleatorio \( (x_1,x_2,x_3,x_4) \) donde \( x_i \) es la calificación se la asignatura i en consecuencia es \( A \) o no A (A')
El espacio muestral \( S=\left\{{(x_1,x_2,x_3,x_4) \ / \ x_i\in{\left\{{A,A'}\right\}} \ i=1,2,3,4}\right\} \)
El suceso aleatorio se lo puede considerar como una secuencia de 4 sucesos aleatorios elementales (resultados A o A' para cada asignatura) independientes

a) Denominando al evento \( E=\left\{{(A,A,A,A)}\right\} \) se tiene :

\( p(E)=p_1(A) \ p_2(A) \ p_3(A) \ p_4(A)=0.2(0.5)(0.1)(0.7)=0.007 \)

b) Denominando al evento \( F=\left\{{(A,A,A,A'),(A,A,A',A),(A,A',A,A),(A',A,A,A)}\right\} \)

La probabilidad será la suma de las probabilidades de los eventos de un solo evento que lo forman :

\( P((A,A,A,A'))=0.2(0.5)(0.1)0.3 \)

\( P((A,A,A',A))=0.2(0.5)(0.9)0.7 \)

\( P((A,A',A,A))=0.2(0.5)(0.1)0.7 \)

\( P((A',A,A,A))=0.8(0.5)(0.1)0.7 \)

Sumando \( P(F)=0.101 \)

En el libro coincido con la respuesta en a) pero en b) dice que \( p(F)=0.404 \)

Realmente no se, si deliberadamente esta equivocándose (por la interrogante final que pone) o se refiere a la hipótesis de independencia en ese caso mi respuesta es equivocada

Espero sus comentarios y gracias de antemano

Saludos

14 Mayo, 2022, 04:31 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Para el a), considerando que la probabilidad de aprobar con A en una signatura es un evento independiente de las otras asignaturas, tendríamos que la probabilidad de sacar todas A's sería simplemente multiplicar las cuatro probabilidades, es decir \( \frac1{5}\cdot \frac1{2}\cdot \frac1{10}\cdot \frac{7}{10}=\frac{7}{1000} \).

El b) es algo más engorroso ya que hay que sumar todos los casos posibles, sería

\( \displaystyle{
p_1(p_2\cdot p_3\cdot q_4+p_2\cdot q_3\cdot p_4+q_2\cdot p_3\cdot p_4)+q_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4=\frac1{5}\left(\frac1{2}\cdot \frac1{10}\cdot \frac{3}{10}+\frac1{2}\cdot \frac{9}{10}\cdot \frac{7}{10}+\frac1{2}\cdot \frac1{10}\cdot \frac{7}{10}\right)+\frac{4}{5}\cdot \frac1{2}\cdot \frac1{10}\cdot \frac{7}{10}\\
=\frac1{5}\cdot \frac{3+7+9\cdot 7}{200}+\frac{4\cdot 7}{1000}=\frac{73+28}{1000}=\frac{101}{1000}=0,101
} \)

Me salen los mismos resultados. Además, si no asumimos independencia, entonces no podemos hacer cálculo alguno ya que no conoceríamos las relaciones de dependencia.

15 Mayo, 2022, 01:50 am
Respuesta #2

delmar

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Muchas gracias por responder Masacroso parece que para su respuesta hizo alguna suposición simplificativa (no detecto cual fue) y obviamente la respuesta del libro, no es la correcta.

Saludos