Autor Tema: Determinar si Z6 y Z7, y 2Z y 5Z son isomorfos

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05 Mayo, 2022, 04:18 am
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lolhio

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Hola, ¿qué tal están?

Tengo un problemilla con algo... debo determinar si:

I) \( \Bbb{Z}_6 \) y \( \Bbb{Z}_7 \) son isomorfos
II) \( 2\Bbb{Z} \) y \( 5\Bbb{Z} \) son isomorfos.

Había tratado con el tercer teorema de la Isomorfía, pero la verdad no saqué nada en limpio porque me faltaba un tercer conjunto. Por favor, si me pueden ayudar. Agradecido de antemano

05 Mayo, 2022, 05:30 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Hola, ¿qué tal están?

Tengo un problemilla con algo... debo determinar si:

I) \( \Bbb{Z}_6 \) y \( \Bbb{Z}_7 \) son isomorfos
II) \( 2\Bbb{Z} \) y \( 5\Bbb{Z} \) son isomorfos.

Había tratado con el tercer teorema de la Isomorfía, pero la verdad no saqué nada en limpio porque me faltaba un tercer conjunto. Por favor, si me pueden ayudar. Agradecido de antemano

Entiendo que te refieres a los grupos \( (\Bbb{Z}_n,+) \).

¿No te sirve el siguiente resultado clásico?: Entendiendo \(\Bbb Z_{nm}\approx\Bbb Z_n\times\Bbb Z_m\iff\gcd(n,m)=1\).

Saludos

05 Mayo, 2022, 07:28 am
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

Hola, que tal estan?

Tengo un problemilla con algo... debo determinar si:

I) \( \Bbb{Z}_6 \) y \( \Bbb{Z}_7 \) son isomorfos
II) \( 2\Bbb{Z} \) y \( 5\Bbb{Z} \) son isomorfos.

\[ \mathbb{Z_6} \] y \[ \mathbb{Z_7} \] no son isomorfos porque uno tiene 6 elementos y el otro 7.

\[ 5\mathbb{Z} \] y \[ 2\mathbb{Z} \] sí lo son. Considera el isomorfismo  \[ f:5\mathbb{Z}\longrightarrow{2\mathbb{Z}} \] dado por \[ f(x) =\displaystyle\frac{2x}{5} \]

Un saludo.