Gracias; mcd es maximo comun denominador?
Sí.
Se me ocurre que si tales generadores son:
Ambos primos, el mcd es 1;
Si no son ambos primos, podria ocurrir uno si lo sea y el otro no (ej. 3 y 10), sin ser el ultimo un multiplo del primero (aqui el mcd seria 1);
Tambien que uno sea multiplo de otro (por ej; 3 y 9), en cuyo caso se trataria del ideal \( (3) \);
Y tambien que ninguno sea primo sin ser el ultimo (por ej . 4 y 10) multiplo del primero (aqui el mcd seria 2).
Todo esto es correcto, aunque hay más casos. Por ejemplo podría pasar que ninguno de los dos fueran primos, pero que fueran coprimos (ej: 6 y 35), en cuyo caso su mcd es también 1.
De estas consideraciones se podria pasar a aplicar el teorema o criterio de Bezout?
No estoy muy seguro de a qué te refieres con esto.
De todas maneras me acabo de dar cuenta de que el argumento que te dí en el mensaje anterior es un tanto tramposo. La cuestión es que normalmente se procede al revés, es decir, para demostrar la identidad de Bézout se prueba (alguna versión de) que \[ (n_1,n_2)=(d) \].
Déjame hacer las cosas bien a ver si así se aclaran un poco.
Teorema: Todos los ideales de \( \Bbb Z \) son principales (es decir, se pueden generar con un único elemento).
Demostración:
Sea \( I \) un ideal de \( \Bbb Z \). Si \( I=0 \) hemos acabado pues está generado por \( 0 \). Supón pues que \( I \neq 0 \). Entonces hay algún \( a \in I \) con \( a \neq 0 \). Como \( I \) es ideal, si \( a \in I \) también se tiene que \( -a \in I \), luego hay elementos positivos en \( I \). Sea \( d>0 \) el entero positivo más pequeño que está en \( I \). Afirmo que \( I=(d) \). Como \( d \in I \) tenemos que \( (d) \subseteq I \), así que solo hay que ver la inclusión contraria. Toma \( x \in I \) cualquiera, y haz la división entera por \( d \). Entonces tienes que hay enteros \( q,r \) tales que \( x=qd+r \) con \( 0 \leq r < d \). Ahora, como \( x \in I \) y también \( d \in I \), tenemos que \( r = x-qd \in I \). Pero \( r<d \) y \( d \) era el menor número positivo en \( I \), por lo que forzosamente \( r=0 \) y por tanto \( x=qd \in (d) \). Esto prueba que \( I \subseteq (d) \), y por tanto que \( I=(d) \).
Ahora, en particular, sabemos que \( (n_1,n_2)=(d) \) para algún entero \( d \). Vamos a ver que \( d=mcd(n_1,n_2) \). Por un lado, como \( n_1 \in (d) \) y \( n_2 \in (d) \), tenemos que \( d \mid n_1 \) y que \( d\mid n_2 \). Por otro lado, toma otro entero \( d' \) con \( d' \mid n_1 \) y \( d' \mid n_2 \). Tenemos que ver que \( d' \mid d \). Como \( d \in (n_1,n_2) \), sabemos que hay \( x,y \) enteros con \( d=xn_1+yn_2 \). Pero como \( d' \mid n_1, n_2 \) también \( d' \mid xn_1+yn_2=d \), como queríamos ver. Luego en efecto \( d=mcd(n_1,n_2) \).
Fíjate además que en el proceso hemos demostrado la identidad de Bézout.
