Autor Tema: Anillos cociente Z/nZ

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03 Mayo, 2022, 08:30 pm
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athairdos

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Hola; tengo la siguiente duda;

Para los enteros-módulo-n se tienen anillos cociente \( \mathbb{Z/nZ} \); asumiendo que para un entero n es posible tomar un ideal principal \( (n) \) y formar el cociente; mi duda tiene 3 partes:

1-es posible considerar ideales para (o a partr de 2 (enteros) generadores de/en \( \mathbb{Z} \)? Algo así como: \( (n_{1}, n_{2}) \)?

2-si lo anterior fuera posible, entiendo que se puede considerar el anillo cociente para el ideal con 2 generadores (?).

3-las clases residuales del anillo cociente del punto anterior, serian (todas) coincidentes (o isomorfas, tal vez) con el anillo cociente (completo) definido por el ideal principal dado para uno sólo de los generadores (por ej. \( \mathbb{Z/n_{1}\mathbb{Z}} \))?

Gracias; saludos

03 Mayo, 2022, 09:12 pm
Respuesta #1

geómetracat

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1-es posible considerar ideales para (o a partr de 2 (enteros) generadores de/en \( \mathbb{Z} \)? Algo así como: \( (n_{1}, n_{2}) \)?
Sí, por supuesto que puedes considerar ideales generados por dos elementos (o tres, o los que quieras). Lo que sucede en el anillo de los enteros \( \Bbb Z \) es que este anillo es un dominio de ideales principales. Esto quiere decir que todos sus ideales están generados por un único elemento. Por tanto, sí tiene sentido considerar \( (n_1,n_2) \) para dos enteros \( n_1,n_2 \), pero lo que va a pasar es que ese ideal es igual al ideal \( (d) \) generado por un único elemento, donde de hecho tienes que \( d=mcd(n_1,n_2) \).

Para ver que \( (n_1,n_2)=(d) \), se usa la identidad de Bezout: existen \( x,y \) enteros tales que \( d=xn_1+yn_2 \), luego \( d \in (n_1,n_2) \) y \( (d) \subseteq (n_1,n_2) \). Y como tanto \( n_1 \) como \( n_2 \) son múltiplos de \( d \), también tienes que \( (n_1,n_2)\subseteq (d) \), luego \( (n_1,n_2)=(d) \).

Esto también responde a tus otras dos dudas, pues tienes que \( \Bbb Z/(n_1,n_2)=\Bbb Z/(d) \).
Como en general \( d\neq n_1,n_2 \), no es cierto en general que el cociente por \( (n_1,n_2) \) sea igual al cociente por el ideal generado por uno solo de los \( n_1,n_2 \). De hecho, esto pasa si y sólo si uno es múltiplo del otro.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Mayo, 2022, 10:45 pm
Respuesta #2

athairdos

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Gracias; mcd es maximo comun denominador?

Se me ocurre que si tales generadores son:

Ambos primos, el mcd es 1;

Si no son ambos primos, podria ocurrir uno si lo sea y el otro no (ej. 3 y 10), sin ser el ultimo un multiplo del primero (aqui el mcd seria 1);

Tambien que uno sea multiplo de otro (por ej; 3 y 9), en cuyo caso se trataria del ideal \( (3) \);

Y tambien que ninguno sea primo sin ser el ultimo (por ej . 4 y 10) multiplo del primero (aqui el mcd seria 2).

De estas consideraciones se podria pasar a aplicar el teorema o criterio de Bezout?

Gracias por la orientacion; saludos

05 Mayo, 2022, 09:18 am
Respuesta #3

geómetracat

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Gracias; mcd es maximo comun denominador?
Sí.

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Se me ocurre que si tales generadores son:

Ambos primos, el mcd es 1;

Si no son ambos primos, podria ocurrir uno si lo sea y el otro no (ej. 3 y 10), sin ser el ultimo un multiplo del primero (aqui el mcd seria 1);

Tambien que uno sea multiplo de otro (por ej; 3 y 9), en cuyo caso se trataria del ideal \( (3) \);

Y tambien que ninguno sea primo sin ser el ultimo (por ej . 4 y 10) multiplo del primero (aqui el mcd seria 2).
Todo esto es correcto, aunque hay más casos. Por ejemplo podría pasar que ninguno de los dos fueran primos, pero que fueran coprimos (ej: 6 y 35), en cuyo caso su mcd es también 1.

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De estas consideraciones se podria pasar a aplicar el teorema o criterio de Bezout?
No estoy muy seguro de a qué te refieres con esto.

De todas maneras me acabo de dar cuenta de que el argumento que te dí en el mensaje anterior es un tanto tramposo. La cuestión es que normalmente se procede al revés, es decir, para demostrar la identidad de Bézout se prueba (alguna versión de) que \[ (n_1,n_2)=(d) \].

Déjame hacer las cosas bien a ver si así se aclaran un poco.

Teorema: Todos los ideales de \( \Bbb Z \) son principales (es decir, se pueden generar con un único elemento).
Demostración:
Sea \( I \) un ideal de \( \Bbb Z \). Si \( I=0 \) hemos acabado pues está generado por \( 0 \). Supón pues que \( I \neq 0 \). Entonces hay algún \( a \in I \) con \( a \neq 0 \). Como \( I \) es ideal, si \( a \in I \) también se tiene que \( -a \in I \), luego hay elementos positivos en \( I \). Sea \( d>0 \) el entero positivo más pequeño que está en \( I \). Afirmo que \( I=(d) \). Como \( d \in I \) tenemos que \( (d) \subseteq I \), así que solo hay que ver la inclusión contraria. Toma \( x \in I \) cualquiera, y haz la división entera por \( d \). Entonces tienes que hay enteros \( q,r \) tales que \( x=qd+r \) con \( 0 \leq r < d \). Ahora, como \( x \in I \) y también \( d \in I \), tenemos que \( r = x-qd \in I \). Pero \( r<d \) y \( d \) era el menor número positivo en \( I \), por lo que forzosamente \( r=0 \) y por tanto \( x=qd \in (d) \). Esto prueba que \( I \subseteq (d) \), y por tanto que \( I=(d) \).

Ahora, en particular, sabemos que \( (n_1,n_2)=(d) \) para algún entero \( d \). Vamos a ver que \( d=mcd(n_1,n_2) \). Por un lado, como \( n_1 \in (d) \) y \( n_2 \in (d) \), tenemos que \( d \mid n_1 \) y que \( d\mid n_2 \). Por otro lado, toma otro entero \( d' \) con \( d' \mid n_1 \) y \( d' \mid n_2 \). Tenemos que ver que \( d' \mid d \). Como \( d \in (n_1,n_2) \), sabemos que hay \( x,y \) enteros con \( d=xn_1+yn_2 \). Pero como \( d' \mid n_1, n_2 \) también \( d' \mid xn_1+yn_2=d \), como queríamos ver. Luego en efecto \( d=mcd(n_1,n_2) \).

Fíjate además que en el proceso hemos demostrado la identidad de Bézout.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Mayo, 2022, 04:29 am
Respuesta #4

athairdos

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Gracias! no he podido contestar antes; aqui van algunas dudas sobre la demostracion (sobre la segunda parte, relativa al generador como mcd)

para poder comprender el razonamiento tuve que pasar a ejemplos concretos.

Por caso, si se toma el ideal \( (5) \), puedo tomar \( (n_{1}, n_{2})=(15, 25) \) y tambien \( (n_{1}, n_{2})=(20, 30) \); en el primer caso, si se toma \( x=-1; y=2 \) se obtiene \( xn_{1}+yn_{2}=7\times{5} \), mientras que en el segundo caso, tomando \( x=2; y=-1 \) se obtiene \( xn_{1}+yn_{2}=2\times{5} \); de aqui surge mi primera duda, respecto de si la ecuacion
Citar
\( d=xn_{1}+yn_{2} \)
se podria reescribir (o al menos interpretar), digamos, como \( (d)=xn_{1}+yn_{2} \); de otro modo, no logro ver como para diferentes valores de x e y, se puede obtener la igualdad con el generador, 5 en este caso (en vez de obtener la igualdad, como he obtenido en ambos casos, respecto de un multiplo del generador).

Luego, mi segunda duda, suponiendo que lo anterior sea atinado, seria si, en efecto, en el primer caso el mcd seria 5, de entre los divisores comunes 5 y 1; y en el segundo caso, el mcd seria tambien 5, pero ahora de entre los divisores comunes 5, 2 y 1. (?).

gracias por la ayuda: saludos

19 Mayo, 2022, 06:32 am
Respuesta #5

geómetracat

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No. \( d=xn_1+yn_2 \) quiere decir exactamente lo que pone, es una igualdad entre números. \( (d)=xn_1+yn_2 \) no tiene sentido, pues lo de la izquierda es un ideal y lo de la derecha es un número.

En tu primer ejemplo, tienes que \( 2\cdot 15 +(-1)\cdot 25 = 5 \). En el segundo lo que pasa es que \[ mcd(20,30)=10 \], por lo que no va a haber ningún par \[ x,y \] con \[ 5=20x+30y \].

De todas maneras, en la demostración lo único que sabemos es que \[ (n_1,n_2)=(d) \]. De ahí es inmediato que existen enteros \[ x,y \] con \[ d=xn_1+yn_2 \], pues por definición de ideal generado se tiene que \( (n_1,n_2)=\{xn_1+yn_2 \mid x,y \in \Bbb Z\} \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Mayo, 2022, 05:45 pm
Respuesta #6

athairdos

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Gracias; seria correcto decir que:

El ideal \( (20,30) \) es equivalente al ideal ppal \( (10) \) (pues 10 es el mcd en este contexto; en \( \mathbb{Z} \)) (?); asi como que:

El ideal \( (15, 25) \) es equivalente (idéntico) al ideal ppal \( (5) \)(por igual razon)(?)

Saludos

Pd: en el mensaje anterior no había "visto" que  \( 2\cdot15+(-1)\cdot25=5 \)

20 Mayo, 2022, 06:17 pm
Respuesta #7

geómetracat

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Gracias; seria correcto decir que:

El ideal \( (20,30) \) es equivalente al ideal ppal \( (10) \) (pues 10 es el mcd en este contexto; en \( \mathbb{Z} \)) (?); asi como que:

El ideal \( (15, 25) \) es equivalente (idéntico) al ideal ppal \( (5) \)(por igual razon)(?)

Saludos

Pd: en el mensaje anterior no había "visto" que  \( 2\cdot15+(-1)\cdot25=5 \)

Sí, siempre que por "equivalente" te refieras a igual.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)