Autor Tema: SCT = SCR + SCE

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17 Mayo, 2022, 11:21 pm
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mnrelk

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Tengo entendido que es una ecuación fundamental en el análisis de la varianza, sin embargo hay algo que se me resiste.
Habría que probar que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2} = \displaystyle\sum_{i=1}^n{(\hat{y_i}-\bar{\hat{y}})^2} + \displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i-\hat{y_i})^2} \), donde \( \hat{y_i} \) son los valores ajustados de un modelo de regresión lineal simple donde \( \hat{y_i} = \hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}x_i \) con \( \hat{\beta_0} = \bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x} \) y \( \hat{\beta_1}= S_{XY}/S^2_{X} \) estimadores insesgados de \( \beta_0 \) y \( \beta_1 \).
Se verifica además que \( \bar{\hat{y}}=\bar{y} \).

He llegado a lo siguiente:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i-\bar{y})^2} =  \displaystyle\sum_{i=1}^n{((\hat{y_i}-\bar{y})+ (y_i -\hat{y_i}))^2} = SCR + SCE + 2\displaystyle\sum_{i=1}^n{(\hat{y_i}-\bar{y})e_i} \)

con \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{e_i} = \displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i-\hat{y_i})}  \).

Se tiene que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\bar{y}e_i}=0 \) puesto que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{e_i}=0 \).
Pero, ¿es cierto que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\hat{y_i}e_i}=0 \)? Es lo único que no consigo probar.

19 Mayo, 2022, 04:00 pm
Respuesta #1

mg

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¿es cierto que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\hat{y_i}e_i}=0 \)? Es lo único que no consigo probar.

Lo que tienes que hacer para demostrarlo es lo siguiente: probar que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(\hat{y_i}-\bar{y})e_i}=0 \)

Desarrollando con cuidado tienes que

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(\hat{y_i}-\bar{y})e_i}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}x_i-\bar{y})(y_i-\hat{\beta_0}-\hat{\beta_1}x_i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x}+\hat{\beta_1}x_i-\bar{y})(y_i-\bar{y}+\hat{\beta_1}\bar{x}-\hat{\beta_1}x_i)} \)

\( =\hat{\beta_1}\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}+\hat{\beta_1}\bar{x}-\hat{\beta_1}x_i)}=n\hat{\beta_1}(\bar{xy}-\bar{x}\bar{y}+\hat{\beta_1}(\bar{x}^2-\bar{x^2})=n(\hat{\beta_1}S_{XY}-\hat{\beta_1}^2 S_X^2)=n(\displaystyle\frac{S_{XY}^2}{S_X^2}-\displaystyle\frac{S_{XY}^2}{S_X^2})=0 \)