Autor Tema: ¿Es este espacio (\(\mathbb A_k^n, \tau_Z\)) un espacio Hausdorff (\(T_2\))?

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27 Abril, 2022, 11:47 am
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marinavzqz

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La respuesta es no y tengo la siguiente prueba:
Lo vemos con un caso particular para n=1.
Tenemos que (\(\mathbb A_k^1)\) = K y nos podemos preguntar como sería la topología de Zariski para (\(\mathbb A_k^1)\). Afirmamos que A es cerrado si y sólo si A es finito. Veámoslo: si A=\(\lbrace a_1,...a_n \rbrace\) es finito siempre podemos construir un polinomio que anule a un conjunto finito de cosas. Consideramos f(x)=\((x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)\) y como estamos trabajando en el anillo de polinomios K[X], si evaluamos dicho polinomio en A, es cero. Entonces V(f)=A y por tanto A es cerrado.\\
(Si A es cerrado, quiere decir que es un conjunto de la forma que V(S) que es lo mismo que V del ideal generado por S y como el anillo es noetheriano entonces basta con analizar una colección finita de polinomios cuyos ceros están contenidos en cada uno de las \(f_i\) que estoy pidiendo:)
\[A=V(S)=V(<S>)= V(f_1,...f_r)\subseteq V(f_i)  \forall i \in 1,...,r\]
Entonces si \(V(f_i)\) fuera finito, \(V(f_1,...f_r)\) sería finito. \(V(f_i)\) es finito porque un polinomio tiene como mucho d raíces en el cuerpo, si el cuerpo es algebraicamente cerrado entonces tiene exactamente su grado de raíces (salvo multiplicidad).
Por tanto A es finito y la topologia de Zariski en (\(\mathbb A_k^1)\) es la topología cofinita
\[\tau_{cof}=\lbrace U \subseteq X |X \backslash U \text{es finita}\rbrace\] Tenemos dos casos:

  • Si K es finito entonces \(\mathbb A_k^n\) es finito también y por tanto \(\mathbb A_k^n\) tiene la topología discreta
  • Caso más interesante: Si k es infinito, entonces \(\forall \text{U,V} \in \tau_Z, U\cap V \not = \emptyset \), de hecho la intersección es infinita y esto ya me dice que el espacio no puede ser Haudsorff (a menos que constara de un solo punto pero no es así porque k es infinito, es decir, si yo considero dos puntos diferentes no hay abiertos que no contengan al otro punto porque todos se intersectan. Por tanto \(\mathbb A_k^1\) no es \(T_2\))

No estoy segura de que la demostración este completa, me podríais aclarar la ultima parte, donde dice caso mas interesante.
y seria posible tener un ejemplo?
muchas gracias

27 Abril, 2022, 05:24 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

No estoy segura de que la demostración este completa, me podríais aclarar la ultima parte, donde dice caso mas interesante.
y seria posible tener un ejemplo?
muchas gracias

No acabo de estar seguro de cuál es tu duda.

Si el cuerpo es infinito, los cerrados son conjuntos finitos, los abiertos son su complementarios: por tanto dos abiertos no vacíos se cortan siempre, porque lo que queda fuera de un abierto son a lo sumo un número finito de puntos y un abierto siempre tiene infinitos puntos.

Un ejemplo es tomar los reales; los cerrados con conjuntos finitos de reales, o si quieres raíces de polinomios que es lo mismo.

Saludos.