La respuesta es no y tengo la siguiente prueba:
Lo vemos con un caso particular para n=1.
Tenemos que (\(\mathbb A_k^1)\) = K y nos podemos preguntar como sería la topología de Zariski para (\(\mathbb A_k^1)\). Afirmamos que A es cerrado si y sólo si A es finito. Veámoslo: si A=\(\lbrace a_1,...a_n \rbrace\) es finito siempre podemos construir un polinomio que anule a un conjunto finito de cosas. Consideramos f(x)=\((x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)\) y como estamos trabajando en el anillo de polinomios K[X], si evaluamos dicho polinomio en A, es cero. Entonces V(f)=A y por tanto A es cerrado.\\
(Si A es cerrado, quiere decir que es un conjunto de la forma que V(S) que es lo mismo que V del ideal generado por S y como el anillo es noetheriano entonces basta con analizar una colección finita de polinomios cuyos ceros están contenidos en cada uno de las \(f_i\) que estoy pidiendo:)
\[A=V(S)=V(<S>)= V(f_1,...f_r)\subseteq V(f_i) \forall i \in 1,...,r\]
Entonces si \(V(f_i)\) fuera finito, \(V(f_1,...f_r)\) sería finito. \(V(f_i)\) es finito porque un polinomio tiene como mucho d raíces en el cuerpo, si el cuerpo es algebraicamente cerrado entonces tiene exactamente su grado de raíces (salvo multiplicidad).
Por tanto A es finito y la topologia de Zariski en (\(\mathbb A_k^1)\) es la topología cofinita
\[\tau_{cof}=\lbrace U \subseteq X |X \backslash U \text{es finita}\rbrace\] Tenemos dos casos:
- Si K es finito entonces \(\mathbb A_k^n\) es finito también y por tanto \(\mathbb A_k^n\) tiene la topología discreta
- Caso más interesante: Si k es infinito, entonces \(\forall \text{U,V} \in \tau_Z, U\cap V \not = \emptyset \), de hecho la intersección es infinita y esto ya me dice que el espacio no puede ser Haudsorff (a menos que constara de un solo punto pero no es así porque k es infinito, es decir, si yo considero dos puntos diferentes no hay abiertos que no contengan al otro punto porque todos se intersectan. Por tanto \(\mathbb A_k^1\) no es \(T_2\))
No estoy segura de que la demostración este completa, me podríais aclarar la ultima parte, donde dice caso mas interesante.
y seria posible tener un ejemplo?
muchas gracias
