Autor Tema: Coordenadas del centro de una circunferencia contenida en una esfera

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24 Abril, 2022, 01:22 am
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dfacum

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Dada una esfera de radio r centrada en el origen y dos puntos pertenecientes a ella \( P_1= [h_1,k_1,l_1] \)  y  \( P_2= [h_2,k_2,l_2] \) , cuales son las coordenadas del centro de la circunferencia de radio mínimo que esta contenida en la esfera y contiene también estos dos puntos?

24 Abril, 2022, 04:03 am
Respuesta #1

Masacroso

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Dada una esfera de radio r centrada en el origen y dos puntos pertenecientes a ella \( P_1= [h_1,k_1,l_1] \)  y  \( P_2= [h_2,k_2,l_2] \) , cuales son las coordenadas del centro de la circunferencia de radio mínimo que esta contenida en la esfera y contiene también estos dos puntos?

Una circunferencia de radio mínimo que contiene dos puntos dados es tal que la distancia entre esos dos puntos constituye su diámetro, por tanto el centro de una circunferencia así se encuentra a mitad de camino del segmento que une ambos puntos. Te queda comprobar que siempre existe una circunferencia inscrita en la esfera que cumple esos requisitos.

24 Abril, 2022, 04:21 am
Respuesta #2

dfacum

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Masacroso, muchas gracias por tu respuesta. Entiendo lo que me explicas pero dos puntos en una esfera contienen infinitas circunferencias contenidas en ésta y que pasan por ellos, el de radio mayor es la que esta centrado en el origen pero luego en general hay otras de menor radio hasta llegar a un mínimo que no necesariamente es la mitad de la distancia entre ambos puntos y su centro no sería el origen.

24 Abril, 2022, 04:39 am
Respuesta #3

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
para mi solo te queda comprobar que si los dos puntos estan en interior de la esfera  cada uno de los valores de coorodenadas esta entre \( \pm r \)

genera la ecuación de cualquier circunferencia de las infinitas y comprueba que todos sus puntos tienen coordenadas entre \( \pm r \)

todas las circunferencias que puedas crear de la esfera interior están centradas en

\( (h_c,k_c,l_c)=(\dfrac{h_1+h_2}{2},\dfrac{k_1+k_2}{2},\dfrac{l_1+l_2}{2}) \)

y el modulo  de su radio es \( r_i=\dfrac{\sqrt{(h_1-h_2)^2+(k_1-k_2)^2+(l_1-l_2)^2}}{2}<r \)


Pd  llevo mas de 1000 mensajes -- como pasa el tiempo Saludos
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

24 Abril, 2022, 05:38 am
Respuesta #4

dfacum

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Richard R Richard, muchas gracias por tu respuesta pero no estoy de acuerdo. Se pueden tomar infinitos planos que pasen por ambos puntos y corten a la esfera y eso dará infinitas circunferencias y por lo tanto infinitas coordenadas de sus centros. Así como hay una circunferencia de radio máximo dado dos puntos pertenecientes a una esfera también hay una sola de radio mínimo.

24 Abril, 2022, 08:17 am
Respuesta #5

geómetracat

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La solución de Masacroso es la correcta, aunque la parte complicada del problema es probar que efectivamente ese punto es el centro de una circunferencia inscrita en la esfera.

Toma dos puntos sobre la esfera, y encuentra el punto medio \( C \) del segmento de recta que los une en el espacio. Afirmo que \( C \) es el centro de la circunferencia de radio mínimo sobre la esfera que pasa por ambos puntos.

Está claro que no puede haber una circunferencia de radio menor, luego solamente hace falta ver que este punto es realmente el centro de alguna circunferencia inscrita en la esfera. Si los puntos son antipodales entonces \( C \) es el origen y la circunferencia buscada se obtiene intersecando la esfera con cualquier plano que contenga a ambos puntos (que necesariamente pasa por el origen). Supongamos pues que los puntos no son antipodales, de manera que \( C \) no es el origen. Considera el plano \[ \pi \] que contiene a la recta que pasa por los dos puntos originales (y por tanto también contiene a \[ C \]), y que es perpendicular a la recta que pasa por el origen y por \[ C \].
La intersección de \[ \pi \] con la esfera es una circunferencia. Vamos a ver que esta circunferencia tiene centro \( C \).

Como hemos escogido \[ \pi \] perpendicular a la recta que pasa por el origen y por \[ C \], dado cualquier punto \[ P \] de la circunferencia sobre la esfera se tiene que el triángulo \[ OCP \] es rectángulo (donde \[ O \] es el origen). Como la distancia \[ OC \] es fija, y la distancia \[ OP \] es el radio de la esfera, luego independiente del punto \[ P \] escogido sobre la circunferencia inscrita, se deduce del teorema de Pitágoras que la distancia \[ CP \] es la misma independientemente del punto \[ P \] escogido en la circunferencia inscrita. Dicho de otro modo, todos los puntos de esta circunferencia inscrita distan lo mismo de \[ C \], por lo que \[ C \] es el centro de la circunferencia.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Abril, 2022, 12:46 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 Un dibujo. Puedes mover los puntos \( B \) y \( C \):


Saludos.

24 Abril, 2022, 01:27 pm
Respuesta #7

Richard R Richard

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Viendo el dibujo parece que interpretado bien, dado el centro y el radio que proponia, la única circunferencia de las infinitas posibles que no corta ni sobresale de la esfera es justamente la que es tangente a la esfera. Pertenece al plano perpendicular al eje formado por el origen y el centro, y que pasa justamente por el centro.


Saludos
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

24 Abril, 2022, 05:27 pm
Respuesta #8

dfacum

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Les agradezco mucho a todos por las explicaciones, me han ayudado a ver que nuevamente me equivoqué en el planteo del problema que necesito resolver.
Estudiaré más detenidamente el problema y cuando lo tenga claro volveré a publicar mi pregunta.
Muchas gracias!