Autor Tema: Ideal maximal.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

15 Abril, 2022, 01:08 am
Leído 116 veces

zimbawe

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 499
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, agradezco de antemano por su ayuda.
Quiero probar que dado un cuerpo \(  K  \) el ideal
\( I=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)  \) es maximal sobre \(  K[x_1,...,x_n]  \).
Se me ocurre probar que
\(  K[x_1,...,x_n]/I  \) es un cuerpo.
Encontre, que
\(  \bar{x_i}=\bar{a_i}  \).
Luego dado  un elemento \(  g  \) de \(  K[x_1,...,x_n]/I  \) puedo tomar como represantante a uno de la forma \(  k+I  \) que claramente tiene como inverso a \(  k^{-1}+I  \).
Luego, \(  K[x_1,...,x_n]/I  \)  es un cuerpo y por lo tanto \(  I  \) es maximal.
¿Está bien mi razonamiento?
Agradezco su ayuda.

15 Abril, 2022, 01:09 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 10,035
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Está bien, pero puestos a ser puntillosos, te faltaría probar que el cociente no es nulo, para lo cual sólo tienes que probar que si \( k\in K \) no es nulo, entonces \( k+I\neq 0+I \), lo cual se debe a su vez a que los polinomios no nulos de \( I \) tienen todos grado \( \geq 1 \).

15 Abril, 2022, 03:31 pm
Respuesta #2

zimbawe

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 499
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Mil gracias Carlos.