Buenas
iago_mz,
Vamos con el
(1): Queremos encontrar escalares \( a,b,c \in \mathbb{R} \) tales que \( a\cdot 1 + b\cdot (1+x) + c\cdot (1+x)^2=-x^2+4 \). Desarrollemos el lado izquierdo:
\( a + b+bx + c\cdot (1+2x+x^2)=-x^2+4 \)
\( a + b +bx + c+2cx+cx^2=-x^2+4 \)
Agrupemos por grado:
\( (a + b + c) + x(b+2c)+cx^2=-x^2+4 \)
Ahora solo basta igualar los coeficientes grado a grado, nos quedara un sistema de ecuaciones:
\( \begin{cases}{a+b+c=4} \\ b+2c=0 \\c=-1 \end{cases} \)
Una vez lo resuelvas tendrás que las coordenadas del polinomio \( p(x)=-x^2 + 4 \) en la base \( B \) son \( (a,b,c) \).
Una idea parecida para el
(2):
El polinomio cuyas coordenadas en la base \( B \) son \( (1,1,1) \) es \( q(x)=1\cdot 1 + 1\cdot (1+x) + 1\cdot (1+x)^2=3+3x+x^2 \). Debes hallar escalares \( a',b',c' \in \mathbb{R} \) tales que \( a'\cdot 1 + b'\cdot x + c' \cdot x^2 = 3+3x+x^2 \).
Para el
(3) recuerda que un subespacio vectorial \( U \) debe cumplir que:
- Contiene al vector nulo (el polinomio nulo en nuestro ejemplo).
- Es cerrado bajo la suma. Si \( p(x),q(x) \in U \) entonces \( p(x)+q(x) \in U \)
- Es cerrado bajo la multiplicación por escalar. Si \( p(x) \in U \) entonces \( \lambda p(x)\in U \) para todo \( \lambda \in \mathbb{R} \)
Intenta verificar si \( U_1 \) y \( U_2 \) verifican estas 3 propiedades.
Cualquier duda consulta nuevamente.
Saludos,
Franco.
