Autor Tema: Base canónica y polinomios

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13 Abril, 2022, 08:01 pm
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iago_mz

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Hola. Tengo toda la semana dándole vueltas a este ejercicio y la verdad es que no lo entiendo. Es un tema sencillo pero no logro entenderlo:

Sea \( \mathbb{R}_2[x] \) el espacio vectorial de los polinomios de grado más pequeño o igual que dos. Considerar las dos bases siguientes: la canónica \( E = \{1, x, x^2\} \) y una base \( B \) definida como sigue: \(  B = \{1, 1 + x,(1 + x)^2\} \). Responder razonadamente a las siguientes preguntas:

1º ¿Cuáles son las coordenadas en la base \( B \) del vector \( p(x) = −x^2 + 4 \)?
2º ¿Y las coordenadas en la base canónica \( E \) del vector \( q(x) \) que en la base \( B \) tiene coordenadas \( (1, 1, 1)_B \)?
3º  Sean \( U_1 = \{p(x) ∈ \Bbb R_2[x] \mid p(0) = 0\} \) y \( U_2 = \{p(x) ∈ \Bbb R_2[x] \mid p(0) = 1\}. \) ¿Son \( U_1 \) y \( U_2 \) espacios vectoriales de \( \Bbb R_2[x] \)? Demostrar detalladamente el resultado.

Moderación: corregido \( \LaTeX \) (los corchetes en \( \LaTeX \) se escriben \{ y \}).

13 Abril, 2022, 08:30 pm
Respuesta #1

franma

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Buenas iago_mz,

Vamos con el (1): Queremos encontrar escalares \( a,b,c \in \mathbb{R} \) tales que \( a\cdot 1 + b\cdot (1+x) + c\cdot (1+x)^2=-x^2+4 \). Desarrollemos el lado izquierdo:
\( a + b+bx + c\cdot (1+2x+x^2)=-x^2+4 \)
\( a + b +bx + c+2cx+cx^2=-x^2+4 \)

Agrupemos por grado:
\( (a + b + c) + x(b+2c)+cx^2=-x^2+4 \)

Ahora solo basta igualar los coeficientes grado a grado, nos quedara un sistema de ecuaciones:
\( \begin{cases}{a+b+c=4} \\ b+2c=0 \\c=-1 \end{cases} \)

Una vez lo resuelvas tendrás que las coordenadas del polinomio \( p(x)=-x^2 + 4 \) en la base \( B \) son \( (a,b,c) \).

Una idea parecida para el (2):
El polinomio cuyas coordenadas en la base \( B \) son \( (1,1,1) \) es \( q(x)=1\cdot 1 + 1\cdot (1+x) + 1\cdot (1+x)^2=3+3x+x^2 \). Debes hallar escalares \( a',b',c' \in \mathbb{R} \) tales que \( a'\cdot 1 + b'\cdot x + c' \cdot x^2 = 3+3x+x^2 \).

Para el (3) recuerda que un subespacio vectorial \( U \) debe cumplir que:
  • Contiene al vector nulo (el polinomio nulo en nuestro ejemplo).
  • Es cerrado bajo la suma. Si \( p(x),q(x) \in U \) entonces \( p(x)+q(x) \in U \)
  • Es cerrado bajo la multiplicación por escalar. Si \( p(x) \in U \) entonces \( \lambda p(x)\in U \) para todo \( \lambda \in \mathbb{R} \)

Intenta verificar si \( U_1 \) y \( U_2 \) verifican estas 3 propiedades.

Cualquier duda consulta nuevamente.

Saludos,
Franco.

En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.