Autor Tema: Demostrar que T es una transformación Lineal, Hallar el núcleo de T

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10 Abril, 2022, 09:59 pm
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Taniadiaz

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Considerando el espacio de \(  M_3 \ (R)  \) de todas las matrices \(  3 \times 3  \) con entradas reales, considerando también \(  A \in{} M_3(R)  \) fija, y la aplicación \(  T : M_3(R) \rightarrow{}M3(R) \) definida como:
\(  T(X)= AX - XA \)
Demostrar que \(  T \)  es una transformación lineal.
Hallar el núcleo de T e interpretar el resultado.

10 Abril, 2022, 11:33 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • "Há tantos burros mandando em homens de inteligência, que, às vezes, fico pensando que a burrice é uma ciência." -Antonio Aleixo.
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Considerando el espacio de \(  M_3 \ (R)  \) de todas las matrices \(  3 \times 3  \) con entradas reales, considerando también \(  A \in{} M_3(R)  \) fija, y la aplicación \(  T : M_3(R) \rightarrow{}M3(R) \) definida como:
\(  T(X)= AX - XA \)
Demostrar que \(  T \)  es una transformación lineal.

Mira el ejercio 3 de https://fernandorevilla.es/2014/05/09/concepto-de-aplicacion-lineal/.

Hallar el núcleo de T e interpretar el resultado.

Aplicando la definición de núcleo obtendrás que está formado por todas las matrices de orden \( 3 \) que conmutan con \( A \).

11 Abril, 2022, 03:25 pm
Respuesta #2

Taniadiaz

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Fernando gracias por responder. Pero no entiendo porque en este caso me habla de matrices \(  3 \times 3  \) puedes desarrollar este ejercicio en tu página por favor? Necesito tu ayuda. Porque además de eso debo hallar el núcleo de esa transformación. No entiendo Fernando. Por favor desarrolla este ejercicio en tu página.

11 Abril, 2022, 05:50 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Fernando gracias por responder. Pero no entiendo porque en este caso me habla de matrices \(  3 \times 3  \)

Porque lo dice el enunciado.

puedes desarrollar este ejercicio en tu página por favor? Necesito tu ayuda. Porque además de eso debo hallar el núcleo de esa transformación. No entiendo Fernando. Por favor desarrolla este ejercicio en tu página.

Escribe que entiendes por núcleo de una aplicación lineal y te sigo ayudando.

11 Abril, 2022, 06:57 pm
Respuesta #4

Taniadiaz

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El núcleo de una aplicación lineal es el conjunto de todos los vectores  que se transforman por la aplicación lineal en el vector nulo del espacio de salida.

11 Abril, 2022, 07:40 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Fernando gracias por responder. Pero no entiendo porque en este caso me habla de matrices \(  3 \times 3  \) puedes desarrollar este ejercicio en tu página por favor? Necesito tu ayuda.

Por si no ha quedado claro... la parte de probar que es lineal, Fernando YA la tiene desarrollada en su página, para matrices cuadradas de cualquier dimensión. Simplemente en tu caso \( n=3 \).

El núcleo de una aplicación lineal es el conjunto de todos los vectores  que se transforman por la aplicación lineal en el vector nulo del espacio de salida.

Pues precisamente por eso, si \( X\in ker(T) \) entonces \( AX-XA=0 \), es decir, \( AX=XA \), es decir, \( X \) conmuta con \( A \).

Saludos.