Autor Tema: Grado de una extensión de cuerpos

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10 Abril, 2022, 09:48 pm
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serbofsot

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Buenas tardes,

El problema dice así:

Calcular el grado de la extensión de cuerpos \(  [\mathbb{Q(\sqrt[3]{2},\sqrt[ ]{2}):\mathbb{Q}]} \)

\(  K = \mathbb{Q(\sqrt[3]{2},\sqrt[ ]{2})} \)

\(  L = \mathbb{Q(\sqrt[3]{2})} \)

\(  M = \mathbb{Q(\sqrt[]{2})} \)

El grado de la extensión \(  [L :\mathbb{Q}] = 3 \) con polinomio irreducible \( X^3 - 2 \)

y \(  [M:\mathbb{Q}] = 2  \) con polinomio irreducible \( X^2 - 2 \)

\( \mathbb{Q} \subset{M}\subset{K} \) y \( \mathbb{Q} \subset{L}\subset{K} \)

La extensión \(  [K:L]  \) es decir \( [\mathbb{Q(\sqrt[3]{2},\sqrt[ ]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]} \)

Esta extensión es distinta de 1 ya que \( \sqrt[]{2}\not\in\mathbb{Q(\sqrt[3]{2})} \) es decir

\( \not\exists { a,b \in{\mathbb{Z}}} \) tal que \( \sqrt[]{2} = a + b\sqrt[3]{2} \)

Entiendo que \( u = \sqrt[]{2} \) NO es Algebraico sobre \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) ya que (creo que)

\( \not\exists{f}\in{\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[X]}

 \) tal que el polinomio mónico irreducible \( f \) tenga a \( u \) como raíz, \( f(u)=0 \). El polinomio sería:

\( f = c_0 + c_1x + ... + c_nx^n  \)  donde \( c_n = (a_n + b_n\sqrt[3]{2)} \) 

Por tanto

\( [\mathbb{Q(\sqrt[3]{2},\sqrt[ ]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] \neq 3} \)

Pero no acabo de ver porqué \( [\mathbb{Q(\sqrt[3]{2},\sqrt[ ]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] = 2} \)

A no ser que....

\( [K:\mathbb{Q}] = [K:L][L:\mathbb{Q}] \) y  \( [K:\mathbb{Q}] = [K:M][M:\mathbb{Q}] \)

Gracias por la aclaración

Cordialmente

10 Abril, 2022, 10:21 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Buenas tardes,

El problema dice así:

Calcular el grado de la extensión de cuerpos \(  [\mathbb{Q(\sqrt[3]{2},\sqrt[ ]{2}):\mathbb{Q}]} \)

\(  K = \mathbb{Q(\sqrt[3]{2},\sqrt[ ]{2})} \)

\(  L = \mathbb{Q(\sqrt[3]{2})} \)

\(  M = \mathbb{Q(\sqrt[]{2})} \)

El grado de la extensión \(  [L :\mathbb{Q}] = 3 \) con polinomio irreducible \( X^3 - 2 \)

y \(  [M:\mathbb{Q}] = 2  \) con polinomio irreducible \( X^2 - 2 \)

\( \mathbb{Q} \subset{M}\subset{K} \) y \( \mathbb{Q} \subset{L}\subset{K} \)

La extensión \(  [K:L]  \) es decir \( [\mathbb{Q(\sqrt[3]{2},\sqrt[ ]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]} \)

Esta extensión es distinta de 1 ya que \( \sqrt[]{2}\not\in\mathbb{Q(\sqrt[3]{2})} \) es decir

\( \not\exists { a,b \in{\mathbb{Z}}} \) tal que \( \sqrt[]{2} = a + b\sqrt[3]{2} \)
Bien hasta aquí, aunque deberías justificar mejor lo último, es decir, deberías probar que \[ \sqrt{2} \notin \Bbb Q(\sqrt[3]{2}) \].

Citar
Entiendo que \( u = \sqrt[]{2} \) NO es Algebraico sobre \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) ...
Sí que lo es. Piensa que si es algebraico sobre \[ \Bbb Q \] también debe serlo sobre cualquier extensión de \[ \Bbb Q \], porque su polinomio irreducible sobre \[ \Bbb Q \], que es \[ X^2-2 \], es un polinomio con coeficientes en cualquier extensión de \[ \Bbb Q \] que tiene a \[ \sqrt{2} \] como raíz. Ahora bien, como \[ \sqrt{2} \] es raíz de un polinomio de grado \[ 2 \] y sabes que \[ \sqrt{2} \notin \Bbb Q(\sqrt[3]{2}) \], tienes que \[ [\Bbb Q(\sqrt{2},\sqrt[3]{2}):\Bbb Q(\sqrt[3]{2})]=2 \], y con eso ya puedes acabar el problema.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Abril, 2022, 11:36 pm
Respuesta #2

serbofsot

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Buenas noches geómetracat,

Muchas gracias por su respuesta.

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Bien hasta aquí, aunque deberías justificar mejor lo último, es decir, deberías probar que \( \sqrt[ ]{2}\not\in
 
\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \)

Reducción al absudo:

\(  0 +\sqrt[ ]{2} = a + b\sqrt[3]{2}  \) donde \( a, b \in{Z} \) y separando la parte real y la parte con raices, ya

creo que se ve que \( a = 0 \)  y \(  b \not\in \mathbb{Z} \) para obtener la igualdad. Por tanto \( \sqrt[ ]
{2}\not\in\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) Sería correcto?

A ver si le he entendido bien....

Citar
Entiendo que \( u = \sqrt[ ]{2} \) NO es Algebraico sobre \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})... \)

Citar
Sí que lo es. Piensa que si es algebraico sobre \( \mathbb{Q} \) también debe serlo sobre cualquier extensión de \( \mathbb{Q} \), porque su polinomio irreducible sobre \( \mathbb{Q} \), que es \( X^2 -2  \), es un polinomio con coeficientes en cualquier extensión de \( \mathbb{Q} \) que tiene a \( \sqrt[ ]{2} \) como raíz. Ahora bien, como \(  \sqrt[ ]{2} \) es raíz de un polinomio de grado 2 y sabes que \( \sqrt[ ]{2}\not\in\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) , tienes que \( [\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{2},\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] = 2 \) y con eso ya puedes acabar el problema.

Si \( u = \sqrt[ ]{2} \) es algebraico sobre cualquier extensión de \( \mathbb{Q} \) entiendo que \( \exists{f}

\in{\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[X]} \) pero este polinomio \( f \) sería reducible hasta grado 2 = polinomio irreducible 

(que es dónde tiene a \( u \) como raíz)... \( X^2 - 2 \)

y así obtener \( [\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{2},\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] = 2 \)

Al ser extensiones algebraicas:

\( [\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{2},\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{2},\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]*

[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 2 * 3 = 6 \)

Ya me dirá...

Cordialmente

11 Abril, 2022, 12:13 am
Respuesta #3

geómetracat

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Reducción al absudo:

\(  0 +\sqrt[ ]{2} = a + b\sqrt[3]{2}  \) donde \( a, b \in{Z} \) y separando la parte real y la parte con raices, ya

creo que se ve que \( a = 0 \)  y \(  b \not\in \mathbb{Z} \) para obtener la igualdad. Por tanto \( \sqrt[ ]
{2}\not\in\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) Sería correcto?
No. De hecho los elementos de \[ \Bbb Q(\sqrt[3]{2}) \] son de la forma \[ a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4} \] con \[ a,b,c \in \Bbb Q \] (recuerda que como es una extensión de grado tres sobre los racionales, es un espacio vectorial sobre los racionales de dimensión tres).
Entonces tienes que:
\[ \sqrt{2}=a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4} \]. Una cosa que puedes hacer es elevar al cuadrado y usar que \[ 1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4} \] es una base de \[ \Bbb Q(\sqrt[3]{2}) \].
Añadido: Otra manera de verlo, sin cálculos, es razonando con los grados de las extensiones. Si tuvieras \[ \sqrt{2} \in \Bbb Q(\sqrt[3]{2}) \], tendrías que \[ \Bbb Q(\sqrt{2}) \subseteq \Bbb Q(\sqrt[3]{2}) \]. Pero entonces deberías tener que \[ 3=[\Bbb Q(\sqrt[3]{2}):\Bbb Q] = [\Bbb Q(\sqrt[3]{2}):\Bbb Q(\sqrt{2})][\Bbb Q(\sqrt{2}):\Bbb Q] = 2[\Bbb Q(\sqrt[3]{2}):\Bbb Q(\sqrt{2})] \]. Como \[ 2 \] no divide a \[ 3 \], tenemos una contradicción.

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A ver si le he entendido bien....

[...]

Si \( u = \sqrt[ ]{2} \) es algebraico sobre cualquier extensión de \( \mathbb{Q} \) entiendo que \( \exists{f}

\in{\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[X]} \) pero este polinomio \( f \) sería reducible hasta grado 2 = polinomio irreducible 

(que es dónde tiene a \( u \) como raíz)... \( X^2 - 2 \)

y así obtener \( [\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{2},\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] = 2 \)

Al ser extensiones algebraicas:

\( [\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{2},\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{2},\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]*

[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 2 * 3 = 6 \)

Ya me dirá...

Cordialmente
Sí, está bien.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Abril, 2022, 08:05 pm
Respuesta #4

serbofsot

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Muchas gracias géometracat por sus aclaraciones.

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