Autor Tema: Determinar la transformación Lineal T que transformó la imagen A en B

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09 Abril, 2022, 03:08 pm
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zaibelzambrano

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Determinar la transformación Lineal T que transformó la imagen A en B. Aquí les adjunto la imagen del ejercicio.

(3) Determine la transformación lineal \( T \), que transformó la imagen \( A \) en la imagen \( B \). Si se sabe que los puntos:

 \( (1,0), (0.7,0.7),(0,1),(-0.7,0.7),(-1,0),(-0.7,-0.7),(0,-1),(0.7,-0.7) \)

fueron transformados respectivamente en los puntos:

 \( (2,-1), (2.05,-0.3), (1.5,0), (0.65,-0.3), (0,-1), (-0.05,-1.7), (0.5,-2),(1.35,-1.7) \)



Espero me puedan ayudar a resolverlo y explicarme. Alguien que me ayude.

Mensaje corregido desde la administración.

09 Abril, 2022, 11:33 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Determinar la transformación Lineal T que transformó la imagen A en B. Aquí les adjunto la imagen del ejercicio.

(3) Determine la transformación lineal \( T \), que transformó la imagen \( A \) en la imagen \( B \). Si se sabe que los puntos:

 \( (1,0), (0.7,0.7),(0,1),(-0.7,0.7),(-1,0),(-0.7,-0.7),(0,-1),(0.7,-0.7) \)

fueron transformados respectivamente en los puntos:

 \( (2,-1), (2.05,-0.3), (1.5,0), (0.65,-0.3), (0,-1), (-0.05,-1.7), (0.5,-2),(1.35,-1.7) \)



Espero me puedan ayudar a resolverlo y explicarme. Alguien que me ayude.

Mensaje corregido desde la administración.

Toda transformació lineal del plano es de la forma (matricialmente)

\( f\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\{b}\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{c}&{e}\\{d}&{g}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\\end{pmatrix} \)

Para hallar las seis incógnitas \( a,b,c,e,d,g \) impón que la aplicación lleve cada punto donde se indica. Basta que lo hagas sobre tres puntos no alíneados:

\( f\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\{b}\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{c}&{e}\\{d}&{g}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2}\\{-1}\\\end{pmatrix} \)

\( f\begin{pmatrix}{0.7}\\{0.7}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\{b}\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{c}&{e}\\{d}&{g}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2.05}\\{-0.3}\\\end{pmatrix} \)

\( f\begin{pmatrix}{0}\\{1}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\{b}\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{c}&{e}\\{d}&{g}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1.5}\\{0}\\\end{pmatrix} \)

 De ahí obtendrás un sistema de seis ecuaciones y seis incógnitas.

Saludos.

09 Abril, 2022, 11:50 pm
Respuesta #2

delmar

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Hola

Es conveniente que leas las reglas del foro, los enunciados se digitan y las fórmulas se escriben en LATEX

Interpretando a la transformación lineal como \( T:R^2\rightarrow{R^2} \) tal que se cumple, que los transformados de los 8 puntos son los que se mencionan, se tiene entre otras cosas:

\( T(1,0)=(2,-1) \)

\( T(0,1)=(1.5,0) \)  por simple observación del enunciado

Una transformación lineal como esta, queda deteminada conociendo los transformados de una base de \( R^2 \) en este caso he mencionado los transformados de la base canónica, la matriz de la transformación T respecto a la base canónica es :

\( m_{cc}(T)=\begin{pmatrix}{2}&{1.5}\\{-1}&{0}\end{pmatrix}\Rightarrow{T(x,y)=\begin{pmatrix}{2}&{1.5}\\{-1}&{0}\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2x-y}\\{-x}\end{pmatrix}} \) entonces para (0.7,07) su transformado será :

\( T(0.7,0.7)=\begin{pmatrix}{2}&{1.5}\\{-1}&{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{0.7}\\{0.7}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2.45}\\{-0.7}\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}{2.05}\\{-0.3}\end{pmatrix} \) en consecuencia ha de haber un error en enunciado

Saludos

Nota : He leído el aporte de Luis Fuentes la solución depende de como se interpreta a la transformación lineal

10 Abril, 2022, 06:46 am
Respuesta #3

zaibelzambrano

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Gracias por sus respuestas pero pueden desarrollar todo el ejercicio? Chicos de verdad no lo entiendo nada. No pude aprobar mi primer examen y dentro de poco lo repetirán otra vez y estoy muy angustiada. Transformaciones Lineales se me ha complicado demasiado. Espero no se molesten por favor.

10 Abril, 2022, 09:05 am
Respuesta #4

feriva

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Gracias por sus respuestas pero pueden desarrollar todo el ejercicio? Chicos de verdad no lo entiendo nada. No pude aprobar mi primer examen y dentro de poco lo repetirán otra vez y estoy muy angustiada. Transformaciones Lineales se me ha complicado demasiado. Espero no se molesten por favor.

La idea más básica de la cual partir es que una recta pasa por dos puntos y con esos dos puntos queda determinada.

Las coordenadas de un vector suponen la diferencia entre las coordenadas de dos puntos; porque un punto menos otro punto es un vector \( v=P_{2}-P_{1}
  \).

A partir de esa igualdad tienes la ecuación vectorial de la recta despejando un punto; por ejemplo \( P_{2}=P_{1}+v
  \). Más en general se le pone un escalar delante al vector, \( P_{2}=P_{1}+\lambda v
  \) (supongo que todo esto ya lo sabes).

...

Ahora recojo el principio de la respuesta de Luis:


Toda transformació lineal del plano es de la forma (matricialmente)

\( f\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\{b}\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{c}&{e}\\{d}&{g}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\\end{pmatrix} \)

\( f\begin{pmatrix}{x}\\
{y}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\
{b}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{c} & {e}\\
{d} & {g}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\
{y}
\end{pmatrix}
  \)

Ahí, f(x,y) es un punto; por tanto, todo lo que hay al otro de del signo igual es otro punto (el mismo punto) como en la ecuación de la recta; y ese punto f(x,y) viene dado en la forma “punto más vector; donde (a,b) es  el vector y  el punto está expresado como el punto de partida por la matriz de una base más el vector. Esa es la matriz que tienes que hallar; junto con un vector (a,b). Son, por tanto, 6 incógnitas; sólo hay que sustituir por los puntos, ir despejando y hallar los valores de las letras.

Saludos.

10 Abril, 2022, 10:09 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Gracias por sus respuestas pero pueden desarrollar todo el ejercicio? Chicos de verdad no lo entiendo nada.

Los "no entiendo nada" no te ayudarán. Tienes que intentar detallar exactamente qué cosa no entiendes.

Te hablan de una transformación lineal; yo he sobreentendido que estás en el contexto de transformaciones afines. A partir de ahí tienes que revisar la teoría que te han explicado al respecto. Puede desarrollarse de varias maneras y no se cual te han contado a ti.

Entonces:

1) Revisa tu libro y apuntes.
2) En mi respuesta precisa que es la primera cosa que no entiendes.
3) Si es posible aporta además como te han definido a ti transformación lineal.

Saludos.

11 Abril, 2022, 04:27 pm
Respuesta #6

zaibelzambrano

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Amigos cuando digo que no entiendo en lo absoluto, es la pura verdad. Por favor necesito que me ayuden. Cuando dicen que sólo hay que sustituir los puntos y despejar las incógnitas. Es como si todo estuviera en Chino para mi.  :'(

11 Abril, 2022, 05:58 pm
Respuesta #7

feriva

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Editado, que me había liado

Vamos a ver:

Arriba te dan unos puntos.

\( (1,0), (0.7,0.7),(0,1),(-0.7,0.7),(-1,0),(-0.7,-0.7),(0,-1),(0.7,-0.7) \) (son puntos (x,y) digamos)

que se transforman respectivamente en

\( (2,-1), (2.05,-0.3), (1.5,0), (0.65,-0.3), (0,-1), (-0.05,-1.7), (0.5,-2),(1.35,-1.7) \) (puntos f(x,y)).

O sea, el (1,0) se transforma en (1,-2); el (0.7,0.7) en (2,05, -0.3)... etc.

Entonces vienes aquí y sustituyes los puntos, los X donde pone (x,y) los f(X) donde pone f(x,y)

\( f\begin{pmatrix}{x}\\
{y}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\
{b}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{c} & {e}\\
{d} & {g}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\
{y}
\end{pmatrix}
  \)

O sea, el primero se transforma así

\( \begin{pmatrix}{\color{blue}{2}}\\
{\color{blue}{-1}}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\
{b}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{c} & {e}\\
{d} & {g}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\color{blue}{1}}\\
{\color{blue}{0}}
\end{pmatrix}
  \)

Multiplicas el punto (1,0) por la matriz (supongo que sabes multiplicar matrices, si no, pues dilo)

\( \begin{pmatrix}{\color{blue}{2}}\\
{\color{blue}{-1}}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\
{b}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{c} & {e}\\
{d} & {g}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\color{blue}{1}}\\
{\color{blue}{0}}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\
{b}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{{\color{blue}1}\cdot c}+ & {{\color{blue}0}\cdot e}\\
{{\color{blue}1\cdot}d}+ & {{\color{blue}0}\cdot g}
\end{pmatrix}
  \)

o sea

\( {\color{blue}2}=a+{\color{blue}1}c+{\color{blue}0}\cdot e
  \)

\( {\color{blue}-1}=b+{\color{blue}1}d+{\color{blue}0}\cdot g
  \).

Y así con todos. Y vas despejando letras.

Ahí ya ves que \( c=2-a
  \) y que \( d=-b-1
  \)

Saludos.

11 Abril, 2022, 07:55 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Amigos cuando digo que no entiendo en lo absoluto, es la pura verdad.

Insisto que el "no entiendo nada", es simplemente autoderrotarse; darse por vencido y no estar dispuesto a aprender.

Mi respuesta comienza así:

Citar
Toda transformación lineal del plano es de la forma (matricialmente)

\( f\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\{b}\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{c}&{e}\\{d}&{g}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\\end{pmatrix} \)

¿Entiendes todo eso? Si no lo entiendes, ¿qué cosas entiendes y cuáles no?.

¿Sabes lo qué es una transformación lineal? Si no lo sabes, esa debería de ser tu primera pregunta: "¿Qué es una transformación lineal?". Deberías también de consultar tus apuntes; si no has ESTUDIADO NADA de transformaciones lineales ni tienes un libro o apuntes a os que acudir, tu problema no es hacer este ejercico; previamente tienes que tener una teoría a la que agarrarte.

Si sabe qué es una transformación lineal... ¿te suena esa expresión matricial? Si no te suena, ¿cómo te han definido la expresión de una transformación lineal?¿qué ejemplos conoces?...

En fin. Esta es la forma de preguntar: desmenuza al máximo que cosas entiendes y cuáles no de las que te decimos. Eso requiere un esfuerzo; pero es la forma de aprender.

En cuanto al interpretación de "sustituir los puntos y despejar las incógnitas". ¿Realmente es chino?¿Acaso estás entrando por primera vez en contacto con las matemáticas? Tienes una fórmula, ¿no sabes sustituir \( (x,y \)) por los valores indicados?. ¿Lo has intentado?. La respuesta de feriva te ayudará al respecto.

No pienses que este tipo de mensajes es para que no preguntes más o por no ayudarte; al contrario, te animo a que sigas preguntando en el foro. ¡Pero atrévete a intentar algo primero o en su defecto a detallar al máximo las dudas!. Las matemáticas no muerden.

Saludos.