Tienes un operador lineal \( T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \) que cumple que \( Tv_k=\lambda _kv_k \) para \( \lambda _k\in \mathbb{R} \) y \( k \in\{1,2,3\} \), siendo \( \lambda _k\neq \lambda _j \) para \( k\neq j \), entonces además de ser vectores propios los \( v_k \) constituyen una base de \( \mathbb{R}^3 \).
Ahora llamemos \( A \) a la matriz que representa a \( T \) utilizando la base canónica en \( \mathbb{R}^3 \). Si \( P \) es el operador lineal de cambio de base desde la base canónica \( e_1,e_2,e_3 \) a la base de vectores propios \( v_1,v_2,v_3 \), es decir que \( Pe_k=v_k \) para \( k\in\{1,2,3\} \), entonces tienes que \( (P^{-1}TP)e_k=P^{-1}Tv_k=P^{-1}\lambda_k v_k=\lambda _kP^{-1}v_k=\lambda _ke_k \), es decir, que la matriz en base canónica que representa al operador \( \tilde T:=P^{-1}TP \) es diagonal.
De lo anterior se deduce que, si los cálculos que has hecho son correctos (es decir si los vectores que has encontrado realmente son vectores propios de \( A \)), entonces tu respuesta es correcta ya que \( P \), al representarse en forma de matriz utilizando la base canónica, sería la matriz cuyas columnas fuesen los vectores propios \( v_1,v_2 \) y \( v_3 \) (con dichos vectores representados utilizando la base canónica).
