Autor Tema: Hallar una matriz inversible.

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09 Abril, 2022, 02:41 pm
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angelabayona

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Hola amigos, quiero saber si este ejercicio lo he realizado correctamente: agradezco su ayuda. Si hay alguna mejor manera de realizarlo me gustaría mucho sus aportes por favor.

Considere la matriz

\( A =  \begin{bmatrix}{0}&{0}&{-2}\\{0}&{-2}&{0}\\{-2}&{0}&{3}\end{bmatrix} \)

a) explique si la matriz A es o no diagonalizable.
b) en caso afirmativo, Hallar una matriz inversible P, tal que \( P^{-1}AP  \) sea una matriz diagonal.

Esto fue lo que hice:

Primero calcular los autovalores y autovectores

Valor \(  4 \) vector propio : \(  \begin{pmatrix}{- \frac{1}{2}}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}  \)

Valor \( -1  \) vector propio \(  \begin{pmatrix}{2}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \)

Valor \( -2  \) vector propio \(  \begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix} \)

Se Forma la matriz P, cuya columna i es el vector propio  \(  i: P = \left[\begin{array}{ccc}- \frac{1}{2} & 2 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\end{array}\right] \)

Luego la matriz diagonal \(  D  \) cuya elemento en la fila i, la columna i es el valor propio \(  i: D = \left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right] \)


Entonces ⎣las matrices Las matrices P y D son tales que la matriz inicial es  \(  \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -2\\0 & -2 & 0\\-2 & 0 & 3\end{array}\right] = P D P^{-1}  \)


⎡Entonces :


​\(  P = \begin{bmatrix}{- \frac{1}{2}}&{2}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{0}\end{bmatrix} \)

\(  D = \begin{bmatrix}{4}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{-2}\end{bmatrix} \)
 Que me dicen chicos?

09 Abril, 2022, 05:06 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Tienes un operador lineal \( T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \) que cumple que \( Tv_k=\lambda _kv_k \) para \( \lambda _k\in \mathbb{R} \) y \( k \in\{1,2,3\} \), siendo \( \lambda _k\neq \lambda _j \) para \( k\neq j \), entonces además de ser vectores propios los \( v_k \) constituyen una base de \( \mathbb{R}^3 \).

Ahora llamemos \( A \) a la matriz que representa a \( T \) utilizando la base canónica en \( \mathbb{R}^3 \). Si \( P \) es el operador lineal de cambio de base desde la base canónica \( e_1,e_2,e_3 \) a la base de vectores propios \( v_1,v_2,v_3 \), es decir que \( Pe_k=v_k \) para \( k\in\{1,2,3\} \), entonces tienes que \( (P^{-1}TP)e_k=P^{-1}Tv_k=P^{-1}\lambda_k v_k=\lambda _kP^{-1}v_k=\lambda _ke_k \), es decir, que la matriz en base canónica que representa al operador \( \tilde T:=P^{-1}TP \) es diagonal.

De lo anterior se deduce que, si los cálculos que has hecho son correctos (es decir si los vectores que has encontrado realmente son vectores propios de \( A \)), entonces tu respuesta es correcta ya que \( P \), al representarse en forma de matriz utilizando la base canónica, sería la matriz cuyas columnas fuesen los vectores propios \( v_1,v_2 \) y \( v_3 \) (con dichos vectores representados utilizando la base canónica).

09 Abril, 2022, 08:06 pm
Respuesta #2

angelabayona

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Muchas gracias por responder Masacroso. He hecho los cálculos nuevamente y me sigue dando el mismo resultado. Supongo están bien. Cómo se demuestra que está matriz es diagonalizable? Agradezco tu ayuda.

09 Abril, 2022, 09:09 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Muchas gracias por responder Masacroso. He hecho los cálculos nuevamente y me sigue dando el mismo resultado. Supongo están bien. Cómo se demuestra que está matriz es diagonalizable? Agradezco tu ayuda.

Ya lo has demostrado, la matriz diagonal \( D \) que hallas es una de las diagonalizaciones posibles de \( A \).