Autor Tema: Monoid

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08 Abril, 2022, 01:53 pm
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Berner

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Let $$X$$ be a set. Then, composition $$(f, g) \mapsto f \circ g$$ is a binary operation on the set $$F(X, X)$$ of all functions $$X \rightarrow X .(F(X, X), \circ)$$ is a monoid with the identity map $$\operatorname{id}_{X}: X \rightarrow X, x \mapsto x$$, as identity element. In general it is not commutative. (Verify!)

08 Abril, 2022, 04:57 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Let $$X$$ be a set. Then, composition $$(f, g) \mapsto f \circ g$$ is a binary operation on the set $$F(X, X)$$ of all functions $$X \rightarrow X .(F(X, X), \circ)$$ is a monoid with the identity map $$\operatorname{id}_{X}: X \rightarrow X, x \mapsto x$$, as identity element. In general it is not commutative. (Verify!)

Por tu historial en el foro, creo que entiendes el castellano, así que te contesto en esa lengua.

¿Qué has intentado?

¡Es muy inmediato!

Tienes que comprobar dos cosas:

1) Que la aplicación identidad es el neutro de la composición. Pero:

\( (f\circ id_X)(x)=f(id_X(x))=f(x) \)
\( (id_X\circ f)(x)=id_X(f(x))=f(x) \)

2) Que la composición es asociativa:

\( ((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x))=f(g(h(x)) \)
\( (f\circ (g\circ h))(x)=f((g\circ h)(x))=f(g(h(x)) \)

Después para ver que no es conmutativa considera:

\( f:\Bbb R\to \Bbb R,\quad f(x)=x+1 \)
\( g:\Bbb R\to \Bbb R,\quad g(x)=x^2 \)

y compara \( f\circ g \) con \( g\circ f \).

Saludos.