Autor Tema: Producto exterior y el Pfaffiano de una matriz

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25 Marzo, 2022, 02:29 am
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FerOliMenNewton

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Hola a todos,
Supongamos que \( b: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) es una forma bilineal antisimétrica, con \( V \) un espacio vectorial de dimensión finita. Para cada \( k \in \mathbb{N} \), definamos
\( b^k(x_1,\ldots,x_{2k})=\sum_{\sigma \in \Omega }^{}{sgn(\sigma) b(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)})  b^{k-1}(x_{\sigma(3)},\ldots,x_{\sigma(2k)})  } \)
donde \( \Omega= \lbrace  \sigma \in S_{2k}: \sigma(1) < \sigma(2) \textrm{ y } \sigma(3)< \cdots < \sigma(2k) \rbrace \).
Según recuerdo a \( b^k \) se le llama la \( k \)-ésima potencia exterior de \( b \).
Ahora sea \( A^{k}(x_1,\ldots,x_{2k}) \) la matriz cuadrada definida por \( (A^{k}(x_1,\ldots,x_{2k}))_{ij}=b(x_i,x_j) \). Quiero probar que para cada \( k \) ,
\( b^k(x_1,\ldots,x_{2k})=k!Pf(A^k(x_1,\ldots,x_{2k})) \)
donde \( Pf(A) \) denota el Pfaffiano de la matriz \( A \). El resultado ciertamente parece cierto, si por ejemplo \( k=2 \) entonces uno tiene que
\( \Omega= \lbrace Id, (2 \hskip.5mm 3) , (2 \hskip.5mm 4 \hskip.5mm 3), (1 \hskip.5mm 2 \hskip.5mm 3), (1 \hskip.5mm 2 \hskip.5mm 4 \hskip.5mm 3), (1 \hskip.5mm 3)(2  \hskip.5mm 4)  \rbrace \)
Por tanto,
\( b^2(x_1,x_2,x_3,x_4)=b(x_1,x_2)b(x_3,x_4)-b(x_1,x_3)b(x_2,x_4)+b(x_1,x_4)b(x_2,x_3)+b(x_2,x_3)b(x_1,x_4)-b(x_2,x_4)b(x_1,x_3)+b(x_3,x_4)b(x_1,x_2) \)
                          \( =2(b(x_1,x_2)b(x_3,x_4)-b(x_1,x_3)b(x_2,x_4)+b(x_1,x_4)b(x_2,x_3)) \)
En este caso, la matriz en cuestión estaría dada por
\( A=\left(
\begin{array}{cccc}
 0 & b\left(x_1,x_2\right) & b\left(x_1,x_3\right) & b\left(x_1,x_4\right) \\
 -b\left(x_1,x_2\right) & 0 & b\left(x_2,x_3\right) & b\left(x_2,x_4\right) \\
 -b\left(x_1,x_3\right) & -b\left(x_2,x_3\right) & 0 & b\left(x_3,x_4\right) \\
 -b\left(x_1,x_4\right) & -b\left(x_2,x_4\right) & -b\left(x_3,x_4\right) & 0 \\
\end{array}
\right) \)
Dado que \( Det(A)=\left(b\left(x_1,x_4\right) b\left(x_2,x_3\right)-b\left(x_1,x_3\right) b\left(x_2,x_4\right)+b\left(x_1,x_2\right) b\left(x_3,x_4\right)\right){}^2 \) tenemos efectivamente que  \( Pf(A)=b(x_1,x_2)b(x_3,x_4)-b(x_1,x_3)b(x_2,x_4)+b(x_1,x_4)b(x_2,x_3) \) y por tanto la afirmación es cierta para \( k=2 \).
En el caso general, intenté usar inducción para probar la afirmación pero no veo una forma efectiva de usar la hipótesis de inducción :( .
¿Alguna sugerencia?
De antemano muchas gracias.
Saludos.

03 Abril, 2022, 10:38 pm
Respuesta #1

SebasMM

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No sé si esto ayude, pero tengo entendido que dada una matriz antisimétrica real de orden \( 2n \), digamos \( A=(a_{ij}) \), puedes considerar el bivector
\( \omega=\sum_{i<j}^{}{a_{ij}e^i \wedge e^j} \)
siendo \( \lbrace e_{1}, \ldots ,e_{2n} \rbrace \) la base canónica de \( \mathbb{R}^{2n} \) y se satisface que
\( \omega^{n}=n! Pf(A) \)
Saludos.

05 Abril, 2022, 02:39 am
Respuesta #2

FerOliMenNewton

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Parece una buena idea pero creo que debo estudiar nuevamente el álgebra exterior. Muchas gracias hermano :).