Autor Tema: Monoides

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08 Abril, 2022, 06:36 am
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Jozy

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Demuestre que  \( \mathbb{N}[x] \) el anillo de polinomios  en una variable con coeficientes enteros es un monoide.

Demuestre que \( \mathbf{N}[x] \) también es un monoide si la operación es una multiplicación.

08 Abril, 2022, 09:29 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Demuestre que  \( \mathbb{N}[x] \) el anillo de polinomios  en una variable con coeficientes enteros es un monoide.

¿Qué has intentado? ¡Es una comprobación totalmente rutinaria?. Un monoide es un conjunto con una operación binaria asociativa y con elemento neutro.

Si consideras la operación producto de polinomios:

\( p(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^m{}a_ix^i \)
\( q(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^n{}b_ix^i \)

\( p(x)q(x)=\displaystyle\sum_{s=0}^{m+n}{}\left(\displaystyle\sum_{i+j=s}a_ib_j\right)x^s \)

(consideramos los índices \( i,j \) en \( \Bbb Z \) y que \( a_i=0 \) si \( i\not\in [0,m] \) y \( b_j=0 \) si \( i\not\in [0,n]. \)

Es inmediato ver que \( 1=1\cdot x^0 \) es el neutro.

En cuanto a la asociativa si tomas \( r(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^l{}c_kx^k \), tienes que:

\( p(x)(q(x)r(x))=\displaystyle\sum_{s=0}^{m+n+l}{}\left(\displaystyle\sum_{i+j=s}a_i\displaystyle\sum_{i'+j'=j}^nb_{i'}c_{j'}\right)x^s=
\displaystyle\sum_{s=0}^{m+n+l}{}\left(\displaystyle\sum_{i+i'+j'=s}a_ib_{i'}c_{j'}\right)x^s \)

\( (p(x)q(x))r(x)=\displaystyle\sum_{s=0}^{m+n+l}{}\left(\displaystyle\sum_{i+j=s}\left(\displaystyle\sum_{i'+j'=i}^na_{i'}b_{j'}\right)c_j\right)x^s=
\displaystyle\sum_{s=0}^{m+n+l}{}\left(\displaystyle\sum_{i'+j'+j=s}a_{i'}b_{j'}c_j\right)x^s \)

 En ambos casos hemos usado que el producto de naturales es asociativo. Eso permite cuando multiplicamos tres números escribir \( abc \) sin tener que precisar que pareja operamos primero porque \( (ab)c=a(bc) \).

 El otro es similar y más sencillo en realidad.

 Como siempre en estos casos a la hora de escribir las demostraciones hay que tener en cuenta en que resultados, definiciones y propiedades previamente demostradas puede uno apoyarse.

Saludos.

08 Abril, 2022, 12:24 pm
Respuesta #2

Masacroso

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Demuestre que  \( \mathbb{N}[x] \) el anillo de polinomios  en una variable con coeficientes enteros es un monoide.

Demuestre que \( \mathbf{N}[x] \) también es un monoide si la operación es una multiplicación.

Añadiría una cosa a lo dicho por Luis, y es recalcar que el enunciado es contradictorio, o como poco confuso, ya que \( \mathbb{N}[x] \) no es un "anillo de polinomios". De hecho si fuese un anillo, del tipo que sea, ya sería automáticamente un monoide.

10 Abril, 2022, 07:32 am
Respuesta #3

Jozy

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Hola gracias por la ayuda la segunda demostracion seria cas igual a esa o diferente que cambia ?

10 Abril, 2022, 10:03 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola gracias por la ayuda la segunda demostracion seria cas igual a esa o diferente que cambia ?

No me había fijado bien en las dos preguntas.

Lo que te he mostrado es como probar que \( \Bbb N[x] \) es un monoide con la operación producto. Eso es la respuesta a la segunda pregunta.

En la primera no se muy bien con que operación te lo piden, pero para no repetir supongo que con la suma. En ese caso la idea es la misma cambiando el producto de polinomios por la suma; el neutro es el polinomio nulo. Las cuentas son más sencillas.

Inténtalo y pregunta las dudas concretas, indicando que has hecho y dónde está tu primera dificultad.

Saludos.

11 Abril, 2022, 03:18 am
Respuesta #5

Jozy

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Hola lo intente hacer asi

Sean \( p, q, h \in \mathbb{N}[x] \)
 Para cualquier $$i$$ vale que
$$
(p+(q+h))_{i}=p_{i}+(q+h)_{i}=p_{i}+\left(q_{i}+h_{i}\right) .
$$
Como $$p_{i}, q_{i}, h_{i} \in \mathbb{N} \mathrm{y}+$$ es asociativa en $$\mathbb{N}$$, pues se trata de un anillo, entonces
$$
p_{i}+\left(q_{i}+h_{i}\right)=\left(p_{i}+q_{i}\right)+h_{i}=(p+q)_{i}+h_{i}=((p+q)+h)_{i} .
$$
Resulta que para todo $$i$$ vale que $$(p+(q+h))_{i}=((p+q)+h)_{i}$$, luego $$p+(q+h)=(p+q)+h$$, como queríamos probar.

Es fácil ver que el polinomio nulo $$p=0 x^{0}$$ es neutro para \( + \) en \( \mathbb{N}[x]. \)
Entonces \( \mathbb{N}[x] \) es monoide

11 Abril, 2022, 08:48 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sean \( p, q, h \in \mathbb{N}[x] \)
 Para cualquier $$i$$ vale que
$$
(p+(q+h))_{i}=p_{i}+(q+h)_{i}=p_{i}+\left(q_{i}+h_{i}\right) .
$$
Como $$p_{i}, q_{i}, h_{i} \in \mathbb{N} \mathrm{y}+$$ es asociativa en $$\mathbb{N}$$, pues se trata de un anillo, entonces
$$
p_{i}+\left(q_{i}+h_{i}\right)=\left(p_{i}+q_{i}\right)+h_{i}=(p+q)_{i}+h_{i}=((p+q)+h)_{i} .
$$
Resulta que para todo $$i$$ vale que $$(p+(q+h))_{i}=((p+q)+h)_{i}$$, luego $$p+(q+h)=(p+q)+h$$, como queríamos probar.

Es fácil ver que el polinomio nulo $$p=0 x^{0}$$ es neutro para \( + \) en \( \mathbb{N}[x]. \)
Entonces \( \mathbb{N}[x] \) es monoide

Está bien.  :aplauso:

Por cierto: Este mismo mensaje, IDÉNTICO al tuyo, lo había escrito el usuario Kandor y lo envió a la papelera. Os lo dije por privado y no habéis respondido: TRES usuarios estáis usando la misma IP y todo apunta a que sois (eres) la misma persona. Por favor, aclara el asunto. En otro caso tendremos que tomar alguna medida restrictiva de acceso al foro desde la administración.

Saludos.