Autor Tema: Grupo de Galois.

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03 Abril, 2022, 04:45 am
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zimbawe

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Hola. Tengo el siguiente conflicto al tratar de resolver el siguiente par de problemas.
Tengo que hallar el grupo de Galois del polinomio \(  x^3-x-1  \) sobre \(  \mathbb{Q}  \) y también el grupo de Galois de ese mismo polinomio sobre \(  \mathbb{Q}(-\sqrt{23})  \) mi problema no es con el algoritmo. Si no en encontrar un cuerpo de descomposición que venga de una forma simple de dicho polinomio.

03 Abril, 2022, 05:11 am
Respuesta #1

zimbawe

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Creo que para la segunda parte ya lo tengo.
El polinomio \(  f(x)=x^3-x-1  \) es irreducible sobre \(  \mathbb{Q}  \) por el teorema de la raiz racional. Ahora, dicho polinomio tiene una raiz real y dos complejas. Si \(  \alpha  \) es la raiz real, sabemos que \(  \mathbb{Q}(\alpha)  \) no es el cuerpo de descomposición de \(  f  \) pues \(  f  \) tiene una raiz compleja.
Ahora, sea \(  \beta  \) la raiz compleja, el cuerpo \(  \mathbb{Q}(\alpha, \beta)  \) es el cuerpo de descomposición de \(  f  \).
Es facil ver que \(  Gal(\mathbb{Q}(\alpha, \beta)/Q(\sqrt{-23})  \) tiene 3 elementos y por lo tanto es isomorfo a \(  \mathbb{Z}_3  \) . El problema es probar que \(  \sqrt{-23} \in \mathbb{Q}(\alpha, \beta)  \) con esto requeríria un poco de ayuda. Mil gracias.

03 Abril, 2022, 07:59 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

Este problema me ha servido para repasar alguna cosilla que dejé a medias en su día sin haber cogido la soltura suficiente. Pero no te preocupes que si me equivoco alguien me correjirá.

Por la regla de Ruffini el polinomio \[ x^2+\alpha x+\alpha^2-1 \] tiene por raíces a \[ \beta \] y a su conjugado. Por lo que \[ [\mathbb{Q}(\alpha, \beta) :\mathbb{Q}(\alpha)] \leq{2} \] y por transitividad de grados \[   [\mathbb{Q}(\alpha, \beta) :\mathbb{Q}] \leq{6}  \] y por tanto estamos buscando un grupo de seis elementos o menos.

Por otro lado tenemos que la conjugación es un elemento de \[ \mathcal{Gal} (
 (\mathbb{Q}(\alpha, \beta) /\mathbb{Q})  \], llamémosla \[ \tau  \], y que existe \[ \sigma \in{}\mathcal{Gal} (
 (\mathbb{Q}(\alpha, \beta) /\mathbb{Q})  \] tal que \[ \sigma(\alpha) =\beta \].

Como \[ \sigma(\tau(\alpha)) =\sigma(\alpha) =\beta \] y \[ \tau(\sigma(\alpha)) =\tau(\beta) \neq\beta \] el grupo no es abeliano. El único grupo no abeliano con seis elementos o menos es el de permutaciones de tres elementos.

En cuanto a la segunda parte no entiendo esto:

Es facil ver que \(  Gal(\mathbb{Q}(\alpha, \beta)/Q(\sqrt{-23})  \) tiene 3 elementos y por lo tanto es isomorfo a \(  \mathbb{Z}_3  \) . El problema es probar que \(  \sqrt{-23} \in \mathbb{Q}(\alpha, \beta)  \) con esto requeríria un poco de ayuda.

¿Cómo has demostrado que el grupo que buscas tiene tres elementos? ¿Por qué necesitas que \(  \sqrt{-23} \in \mathbb{Q}(\alpha, \beta)  \)?

Igual es trivial, pero ya te digo que estoy un poco verde en todo esto.

Gracias. Un saludo.

03 Abril, 2022, 09:03 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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¿Sabes lo que es el discriminante de un polinomio?

https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant

Para un polinomio mónico, \( (x-r_1)\cdots (x-r_j) \) el discriminante es el producto \( \Delta = \prod_{i<j}(r_i-r_j)^2 \), y eso implica que \( \sqrt{\Delta} \) está en su cuerpo de escisión, porque las raíces \( r_i \) lo están.

Por otra parte, en la página que te cito está la fórmula para el discriminante de un polinomio cúbico de la forma \( x^3+px+q \), que es \( \Delta = -4p^3-27q^2 \), que en tu polinomio da \( -23 \), por lo que \( \sqrt{-23} \) está en el cuerpo de escisión, que es lo que quieres probar.

03 Abril, 2022, 09:23 pm
Respuesta #4

martiniano

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¿Por qué necesitas que \(  \sqrt{-23} \in \mathbb{Q}(\alpha, \beta)  \)?

Vale, ya. Si no perteneciese no tendría mucho sentido hablar de la extensión.

Entonces \[ [\mathbb{Q}(\alpha, \beta):\mathbb{Q}\sqrt[ ]{-23} ]= \displaystyle\frac{[\mathbb{Q}(\alpha, \beta) :\mathbb{Q}] }{[\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{-23}):\mathbb{Q}] }=6/2=3 \].

Un saludo.

03 Abril, 2022, 09:32 pm
Respuesta #5

zimbawe

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Hola Martiniano. Muchas gracias por ayudar, pero podrias decirme por fa a quién has llamado Tau?
Carlos, un millon de gracias. Todo súper claro.

03 Abril, 2022, 10:17 pm
Respuesta #6

martiniano

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Hola.

Hola Martiniano. Muchas gracias por ayudar, pero podrias decirme por fa a quién has llamado Tau?

Sí, disculpa. A la conjugación en el plano complejo. Se me olvidó presentarla.

Un saludo.