Autor Tema: duda sobre la polar

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30 Marzo, 2022, 10:49 am
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marinavzqz

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A partir de ahora asumimos que \(S \subset \mathbb P^3\) es una superficie cúbica lisa y S=V(F) para algún polinomio homogéneo F(x,y,z,t) \(\in \mathbb C[x,y,z,t,]\) de grado 3 tal que \[\nabla F(p)=\Big ( \frac{\partial F}{\partial x}(p), \frac{\partial F}{\partial y}(p),\frac{\partial F}{\partial z}(p), \frac{\partial F}{\partial t}(p) \Big ) \neq (0,0,0,0) \forall p \in S\]
 Denotamos como \(T_pS\) el plano tangente de una superficie S en un punto P=[\(p_0:p_1:p_2:p_3] \in S\). Si S=V(f) entonces \(T_pS\) es el conjunto de ceros de \(x_0\frac{\partial}{\partial x_0}f|_p+ x_1\frac{\partial}{\partial x_1}f|_p+x_2\frac{\partial}{\partial x_2}f|_p+x_3\frac{\partial}{\partial x_3}f|_p\)\\
 Sea \(S \subset \mathbb P^3\) una superficie cúbica lisa. Entonces existe una recta L contenida en S.
Para ver este resultado necesitamos nociones sobre espacio tangente y las fórmulas de Plucker para curvas planas\\
 Sea \(S \subset \mathbb P^3\) una superficie lisa, \(\Pi \subset \mathbb P^3\) un plano tal que \(\Pi \not \subset S\), C=\(X \cap \Pi \) la intersección (scheme theoretic intersection?), y P \(\in C\). Entonces  \(\Pi =T_pS\) si y sólo si C es singular en P. \\
 Sea \(S \subset \mathbb P^3\) una superficie cúbica lisa, \(P \in S\) un punto, y C=\( S\cap T_pS\) una curva. Entonces C o es una cúbica singular irreducible (unión de una cónica y una recta) o es la unión de tres rectas distintas.\\

 Dado un punto A=\([a_0:a_1:a_2:a_3] \in \mathbb P^3\) y S=V(f) una superficie, \textbf{la polar respecto del punto A} es la superficie en \(\mathbb P^3\) definida por el conjunto de ceros del polinomio
\[f_A:= a_0\frac{\partial f}{\partial x_0}+ a_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+a_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+a_3\frac{\partial f}{\partial x_3}\]
Geométricamente, tenemos que P\(\in V(f)\cap V(f_A)\) si y sólo si la recta \(\overline{PA}\) es tangente a V(f) en P. Para grado 3, la polar aparece de forma natural en el siguiente desarrollo de Taylor, donde \( [\lambda:\mu] \in \mathbb P^1\) parametrizan la recta \(\overline{PA}\):
\[f(\lambda P+\mu A)= \lambda ^3 f(P)+\lambda ^2\mu f_A(P)+\lambda \mu^2 f_P(A)+\mu ^3 f(A) \]
Si \(\overline{PA}\) es tangente a S=V(f) en P y en A, entonces \(f(\lambda P+\mu A)=0\), así que \(\overline{PA} \subset S\).

¿por qué el desarrollo de Taylor es 0? y por que es ese?