Autor Tema: Toda superficie cubica lisa contiene una recta en CP^3

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29 Marzo, 2022, 06:16 pm
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marinavzqz

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Consideremos el conjunto formado por las rectas de \(\mathbb P^3\),
\[
G := \left\lbrace L: \text{L recta de } \mathbb P^3 \right\rbrace
\]
 G corresponde con la llamada \textbf{grassmanniana}, un espacio que parametriza las rectas de \(\mathbb P^3\), es decir, tal que sus puntos están en biyección con el conjunto de las rectas de \(\mathbb P^3\), de forma que cuando un punto de G varía de manera continua, los coeficientes de las ecuaciones que definen la recta correspondiente en \(\mathbb P^3\) varían tambien de forma continua.
 
 Al igual que hemos hecho con las rectas, si consideramos la familia de las superficies cúbicas de \(\mathbb P^3\), tendremos un espacio proyectivo de dimensión 19 (ya que cada superficie está dada por la anulación de un polinomio homogéneo F con 20 coeficientes, determinados salvo multiplicación por escalares).

Nos fijamos ahora en la subvariedad de incidencia (porque la recta está contenida en la superficie), digamos I, del producto cartesiano G × \(\mathbb P^{19}\) formada por las parejas que parametrizan una recta L y una superficie cúbica S tal que
 \[I:= \left\lbrace (L,S) \in G \times \mathbb P^{19}|L \subset S \right\rbrace \]
 y desde I se tienen proyecciones \(p_1\), \(p_2\), a los dos factores del producto anterior.


Si \(p_2\) es sobreyectiva entonces toda superficie cúbica de \(\mathbb P^3\)contiene al menos una recta.

Demostración.  Vamos a suponer que la recta L es de la forma
\[L: aX+bY+cZ+dT=0\] que con un cambio adecuado de coordenadas (Z=T=0) puedo expresar como \[L: aX+bY=0\]
Por otro lado, la ecuación de S es F = 0. Como L \(\subset\) S, puedo expresar F como \[F= -\lambda Y^3(a_1+a_2+a_3+a_4)=0\]
donde Y \(\not = 0\) ya que es una constante que varía y \(\lambda\) \(\not = 0\) (ya que X= -\(\lambda\)Y), por tanto los cuatro coeficientes \(a_1, a_2, a_3, a_4\) deben ser nulos. 

De esta forma \(p_1^{-1}\)(L), que es el espacio de superficies cúbicas que contienen a cada recta L, tiene dimensión 15. Entonces dim(I) = 4 + 15 = 19
Si dim\((p_2(I)\)) \(< 19\), entonces la dimensión de \(p_2\) en los puntos de la imagen \(p_2(I)\) debería ser al menos 1 y así, cada superficie que contuviera rectas, debería contener infinitas. Esto no es cierto porque, Cayley demostró que una recta general debe cumplir 4 condiciones independientes (son las 4 condiciones que obtenemos al sustituir la ecuación de la recta en la de la superfice y pedir que el polinomio de grado 3 resultante se anule) para estar contenida en una superficie cúbica y como la familia de rectas en el espacio de dimensión 3 depende de 4 parámetros, cada superficie debe contener un número finito de rectas. Se cumple así que dim(\(p_2(I)\)) = 19, dim(I)=19 y por tanto  \(p_2(I)\) = \(\mathbb P^{19}\) y la proyección \(p_2\) resulta ser una aplicación entre dos variedades de la misma dimensión y por tanto sobreyectiva.

Tengo algunas preguntas:
1) no se si me falta alguna parte para que sea completa la prueba
2) Por qué es suficiente con que sea sobreyectiva?

LaTeX corregido por moderación.

29 Marzo, 2022, 06:22 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola

cv

¿Deseas borrar el hilo? Porque hace un rato vi que habías publicado una pregunta y ahora lo editaste. Si es así, hazlo saber para que un moderador pueda eliminarlo (si así lo deseas).

Saludos

29 Marzo, 2022, 06:28 pm
Respuesta #2

marinavzqz

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29 Marzo, 2022, 09:13 pm
Respuesta #3

geómetracat

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1) no se si me falta alguna parte para que sea completa la prueba
Para ser sincero no entiendo muy bien la demostración. Por ejemplo, dices
Vamos a suponer que la recta L es de la forma
\[L: aX+bY+cZ+dT=0\]
pero una recta en el espacio proyectivo \[ \Bbb P^3 \] viene determinada por dos ecuaciones, no por una. Tampoco entiendo cómo sacas que la ecuación de la superfície se puede tomar como \[ F= -\lambda Y^3(a_1+a_2+a_3+a_4)=0 \].

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2) Por qué es suficiente con que sea sobreyectiva?
Porque como los elementos de \[ I \] son pares \[ (L,S) \] (recta, superfície cúbica) con \[ L \subseteq S \], si \[ p_2:I \to \Bbb P^{19} \] es exhaustiva, quiere decir que para cada superfície cúbica \[ S \] existe un par \[ (L,S) \in I \] y por tanto \[ S \] contiene una recta.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Marzo, 2022, 08:09 pm
Respuesta #4

marinavzqz

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Buenas,
He encontrado esta otra demostración pero en algunos pasos me pierdo:
1) Si cogemos H un plano y L\(\subset H\), por que la intersección H con la cúbica tiene que ser una cúbica??

 Existe al menos una recta L en S. \\
Paso 1: Construcción preliminar}\\
{Lema. } La intersección de una hipersuperficie V \(\subset \mathbb A^n\) con el hiperplano tangente \(T_pV\) es singular en P. \\

Para cualquier punto P \(\in\) S, la intersección de S con el plano tangente \(T_pS\) es una curva cúbica plana C=\(S \cap T_pS\) que es singular en P por el lema anterior. Asumimos que C es irreducible, de lo contrario P está en una recta de S; entonces C es una cúbica nodal o cuspidal y puedo elegir las coordandas (X,Y,Z,T) de \(\mathbb P^3\) de manera que \(T_pS\):(T=0), P=(0,0,1,0) y \[C:(XYZ=X^3+Y^3) o (X^2Z=Y^3)\]
Que C sea nodal o cuspidal para un P \(\in\) S determinado depende de la matriz de segundas derivadas parciales de f en P (matriz hessiana). Por simplicidad, vamos a probarlo en el caso de que sea una curva cúbica cuspidal. Por tanto asumimos que f es de la forma\[f=X^2Z-Y^3+gT,\]
donde \(g=g_2(X,Y,Z,T)\) es una forma cuadrática; g(0,0,1,0)\(\not = 0\) por la no singularidad de S en P, así que podemos asumir que g(0,0,1,0)=1\\
{Paso 2: Problema principal}\\
Consideramos el punto variable \(P_\alpha =(1,\alpha, \alpha^3, 0)\) de C \(\subset S\). Cualquier recta de \(\mathbb P^3\) que pase por \(P_\alpha\) interseca con el plano complementario \(\Pi\):(X=0) en un punto Q=(0,Y,Z,T). Escribimos las ecuaciones para que la recta \(P_\alpha Q\) esté contenida en S en términos de \(\alpha\) y Q; desarrollando f(\(\lambda P_\alpha+ \mu Q\)) en potencias de \(\lambda\) y \(\mu\) llegamos a \[ P_\alpha Q \subset S \Longleftrightarrow A(Y,Z,T)=B(Y,Z,T)=C(Y,Z,T)=0,\]
donde A, B y C son formas de grados 1,2 y 3 en (Y,Z,T), cuyos coeficientes implican a \(\alpha\)
{Proposición. }Existe un polinomio 'resultante' \(R_27(\alpha)\), que es mónico de grado 27 en \(\alpha\), tal que \[R(\alpha)=0 \Longleftrightarrow A=B=C=0  \text{tienen un cero común } (\eta :\varsigma:\tau) \text{en} \mathbb P^2\]
Este enunciado prueba que existe al menos una recta L en S, ya que implica que para cada raíz \(\alpha\) de R, existe un punto Q=\((0:\eta :\varsigma:\tau)\) en \(\Pi\) para el que la recta \(P_\alpha Q\) está contenida en S. \\
Paso 3: Forma polar\\
{Definición.} {La polar de f} es la forma en dos conjuntos (X,Y,Z,T) y (X',Y',Z',T') dada por \[f_1(X,Y,Z,T; X',Y',Z',T')= \frac{\partial f}{\partial X}X'+\frac{\partial f}{\partial Y}Y'+\frac{\partial f}{\partial Z}Z'+\frac{\partial f}{\partial T}T'\]
{Definición. } Sea V \(\subset \mathbb A^n\) una subvariedad, con P=(\(a_1,...,a_n) \in\) V. Para cualquier f \(\in k[x_0,...,x_n]\) tenemos \[f_P^{(1)}=\sum_i \frac{\partial f}{\partial X_i}(P)·(X_i-a_i)\] como el polinomio lineal afín.\\
{El espacio tangente a V en P} lo definimos como \[T_pV= \bigcap (f_P^{(1)}=0)\subset \mathbb A^n\] para toda f \(\in I(V)\).\\

Por la definición de espacio tangente, tenemos que para P=(X,Y,Z,T) \(\in\) S y P \(\not = Q = (X',Y',Z',T')\in \mathbb P^3\), \[f_1(P;Q)=0 \Longleftrightarrow \text{la recta PQ es tangente a S en P}.\]
Así se cumple \(f(\lambda P+\mu Q)= \lambda ^3 f(P)+\lambda ^2\mu f_1(P;Q)+\lambda \mu^2 f_1(Q;P)+\mu ^3 f(Q)\), para P \(\not = Q \in \mathbb P^3\), las siguientes 4 condiciones \[f(P) = f_1(P;Q) = f_1(Q;P) = f(Q)\] son las ecuaciones para la recta L =PQ contenida en S:(f=0). Geométricamente, esto quiere decir que esta recta L es tangente a S tanto en P como en Q, de modo que f restringido a L tiene raíces dobles en ambos puntos y entonces L \(\subset S\) \\
La polar de\(f=X^2Z-Y^3+gT\) es \[f_1=2XZ·X'-3Y^2·Y'+X^2·Z'+g(X,Y,Z,T)·T'+Tg_1\] donde \(g_1=g_1(X,Y,Z,T; X',Y',Z',T')\) es la forma polar g definida de la misma manera que antes; como  \(g_1\) es cuadrática, \(g_1\) es una forma simétrica bilineal tal que \(g_1(P,P)=2g(P)\).\\
Sustituyendo \(P_\alpha =(1,\alpha, \alpha^3, 0)\) y Q=(0,Y,Z,T) obtenemos las ecuaciones de \(P_\alpha Q \subset S\) y como A=B=C=0, donde \\

\(A=Z-3\alpha^2Y+g(1,\alpha, \alpha^3, 0)T\),\\
\(B=-3\alpha^2+g_1(1,\alpha, \alpha^3, 0; 0,Y,Z,T)T,\)\\
\(C=-Y^3+g(0,Y,Z,T)T.\)

{Paso 4: Último cálculo} Ahora eliminamos Y,Z,T de las 3 ecuaciones anteriores, nos fijamos en las potencias de \(\alpha\) más grandes. Como g(0,0,1,0)=1, tenemos que \[g(1,\alpha, \alpha^3, 0)=\alpha^6+...=a^{(6)}\], donde ... representan los términos de un grado inferior de \(\alpha\), así \(a^{(6)}\) es mónico de grado 6. Entonces como A=0, obtenemos Z como una forma lineal dependiente de Y y T \[Z=3\alpha^2Y-a^{(6)}T\]
Sustituyendo en B y usando la bilinealidad de \(g_1\) obtenemos \[B=-3\alpha Y^2+g_1(1,\alpha, \alpha^3, 0; 0,Y,3\alpha^2Y-a^{(6)}T,T)T=b_0Y^2+b_1YT+b_2T^2,\]
donde \[b_0=3\alpha, \hspace{1cm} b_1=g_1(1,\alpha, \alpha^3, 0; 0,1,3\alpha^2,0)=6\alpha^5+...,\] \[b_2=g_1(1,\alpha, \alpha^3, 0; 0,-a(6),1)=-2\alpha^9+...\]
De forma similar sustituyendo Z en C, y desarrollando la forma cuadrática g obtenemos \[C=-Y^3+g(0,Y,3\alpha^2Y −a(6)T,T)T =c_0Y^3 +c_1Y^2T +c_2YT^2 +c_3T_3,\] donde
\(c_0=−1, \hspace{1cm} c_1=g(0,1,3\alpha^2,0)=9\alpha^4+...,\)
\(c_2 =g_1(0,1,3\alpha^2,0;0,0,−a(6),1)=−6\alpha^8+...,\)
\(c_3 = g(0, 0, −a(6), 1) = \alpha12 + ....\)
{Lema} Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado, U una forma cuadrática y V una forma cúbica tales que:\[q(U,V)=a_0U^2 +a_1UV +a_2V^2,\]
\(c(U,V)=b_0U^3 +b_1U^2V +b_2UV^2 +b_3V^3.\)
Decimos que q y c tienen un cero común \((\varsigma: \tau) \in \mathbb P^1\) si y sólo si
\[det = \;
   \begin{vmatrix}
      a_0 & a_1 & a_2 &  &  \\
       & a_0 & a_1 & a_2 &  \\
       &  & a_0 & a_1 & a_2 \\
      b_0 & b_1 & b_2 & b_3 &  \\
       & b_0 & b_1 & b_2 & b_3
   \end{vmatrix}
   =0\]
Ahora podemos decir que B' y C' tienen un cero común \((\varsigma: \tau)\) si y sólo si
\[det = \;
   \begin{vmatrix}
      -3\alpha & 6\alpha^5 & -2\alpha^9 &  &  \\
       & -3\alpha & 6\alpha^5 & -2\alpha^9 &  \\
       &  & -3\alpha & 6\alpha^5 & -2\alpha^9 \\
      -1 & 9\alpha^4 & -6\alpha^8 & \alpha^12 &  \\
       & -1 & 9\alpha^4 & -6\alpha^8 & \alpha^12
   \end{vmatrix}
   =\alpha^{27}· det = \;
   \begin{vmatrix}
      -3 & 6 & 2 &  &  \\
       & -3 & 6 & 2 &  \\
       &  & -3 & 6 & 2 \\
      -1 & 9 & -6 & 1 &  \\
       & -1 & 9 & -6 & 1
   \end{vmatrix}
   =\alpha^{27}\]

31 Marzo, 2022, 08:39 am
Respuesta #5

geómetracat

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No me he mirado la demostración, pero sobre esto:
1) Si cogemos H un plano y L\(\subset H\), por que la intersección H con la cúbica tiene que ser una cúbica??
Una manera elemental de verlo es tomando coordenadas \[ (X:Y:Z:T) \] de forma que \[ H \] sea el plano \[ X=0 \]. Entonces la ecuación de la superfície cúbica  viene dada por \[ F(X,Y,Z,T)=0 \], donde \[ F \] es un polinomio homogéneo de grado tres. Si \[ X \] divide al polinomio, entonces la superfície no es irreducible, en contra de las hipótesis con las que trabajamos. Por tanto, la intersección de \[ H \] con la cúbica tiene ecuación \[ F(0,Y,Z,T)=0 \] y como \[ X \] no divide a \[ F(X,Y,Z,T) \], \[ F(0,Y,Z,T) \] es un polinomio no nulo, homogéneo de grado tres en las variables \[ Y,Z,T \], es decir, la ecuación de una curva cúbica en el plano \[ H \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)