Autor Tema: las 27 rectas de la cubica de fermat

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28 Marzo, 2022, 09:19 pm
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marinavzqz

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Buenas,
estoy buscando viendo la prueba de las 27 rectas y lo estoy viendo primero en la cubica de fermat:
tengo esto
Veamos que una recta L en el espacio proyectivo \(\mathbb P^3\) está dada por dos hiperplanos, que son hipersuperficies de grado1 1. Elegimos una recta L en \(\mathbb P^3\), salvo cambio de coordenadas, estos dos hiperplanos vienen dados por \[x=az+bt, y=cz+dt\]
Por tanto, la recta L está contenida en la cúbica de Fermat si y sólo si \[(az+bt)^3+(cz+dt)^3+z^3+t^3=0\] como polinomio en \(\mathbb C[z,t]\)
Desarrollando esta expresión,
\[a^3z^3+b^3t^3+3azb^2t^2+3a^2z^2bt\]
\[+ c^3z^3+d^3t^3+3czd^2t^2+3c^2z^2dt\]
\[+z^3+t^3=0\]
Deben satisfacerse las siguientes cuatro ecuaciones: \\
(1)\(a^3+c^3+1=0\)\\
(2)\(b^3+d^3+1=0\)\\
(3)\(ab^2+cd^2=0\)\\
(4)\(a^2b+c^2d=0\)\\
Si suponemos que los a,b,c,d son todos distintos de cero, entonces haciendo \((3)^2/(4)\) obtenemos \(b^3=-d^3\) lo que contradice (2). Por tanto, al menos uno de estos a,b,c,d debe ser no nulo.
Salvo cambio de coordenadas, podemos asumir que a=0 y así obtenemos que \(b^3=c^3=-1\) y a=d=0. El par (b,c) será de la forma (b,c)=(\(-w^j,-w^k\)) para 0\(\leq j\), k\(\leq 2\) donde w es la raíz cúbica primitiva de la unidad, es decir, w=\(e^{\frac{2\pi i}{3}}\). Las rectas son producto de todas las posibles permutaciones de las coordenadas: 
\[x+tw^k=y+zw^j=, 0 \leq j, k\leq 2\]
\[x+zw^k=t+yw^j=, 0 \leq j, k\leq 2\]
\[x+yw^k=t+zw^j=, 0 \leq j, k\leq 2\]
¿me podrían ayudar a sacas explícitamente las 27 ecuaciones, no las veo bien

muchas gracias

29 Marzo, 2022, 12:12 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Pues ya las tienes, ¿no?
Son estas:
\[x+tw^k=y+zw^j=0, 0 \leq j, k\leq 2\]
\[x+zw^k=t+yw^j=0, 0 \leq j, k\leq 2\]
\[x+yw^k=t+zw^j=0, 0 \leq j, k\leq 2\]

Por ejemplo,
\[x+tw^k=y+zw^j= 0 ,0 \leq j, k\leq 2\]
te da 9 rectas, que son las que tienen ecuaciones:
\[x+tw^0=y+zw^0= 0\]
\[x+tw^1=y+zw^0= 0\]
\[x+tw^2=y+zw^0= 0\]
\[x+tw^0=y+zw^1= 0\]
\[x+tw^1=y+zw^1= 0\]
\[x+tw^2=y+zw^1= 0\]
\[x+tw^0=y+zw^2= 0\]
\[x+tw^1=y+zw^2= 0\]
\[x+tw^2=y+zw^2= 0\]

Similarmente, de \[x+zw^k=t+yw^j=0, 0 \leq j, k\leq 2\] te salen nueve más y de \[x+yw^k=t+zw^j=0, 0 \leq j, k\leq 2\] otras nueve, en total 27.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Marzo, 2022, 12:37 pm
Respuesta #2

marinavzqz

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y por que son de esa forma?

29 Marzo, 2022, 12:51 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Pues por todo lo que has escrito antes, ¿no? No acabo de entender tu duda.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Abril, 2022, 08:11 pm
Respuesta #4

marinavzqz

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buenas, por que las rectas son el producto de todas las posibles permutaciones de las coordenadas?