Autor Tema: Orden de un elemento de un grupo

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25 Marzo, 2022, 07:52 pm
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Hola que tal

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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  • GAUSSIANA
Demostrar que si $$m$$ es el orden de un elemento $$x$$ de un grupo $$G$$:

$$ord(x^k)= \frac{m}{mcd(m,k)}$$
En matemáticas uno no entiende las cosas, se acostumbra a ellas.

01 Abril, 2022, 09:38 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Demostrar que si $$m$$ es el orden de un elemento $$x$$ de un grupo $$G$$:

$$ord(x^k)= \frac{m}{mcd(m,k)}$$

Si llamas \( m'=\dfrac{m}{mcd(m,k)} \) entonces:

1) \( (x^k)^{m'}=1 \).

2) Si \( (x^k)^p=1 \) entonces \( p\geq m' \).

Ten en cuenta que:

\( m=m'\cdot mcd(m,k) \)
\( k=k'\cdot mcd(m,k) \)

con \( m',k' \) coprimos.

Entonces

\( (x^k)^n=x^{km'}=x^{k'mcd(m,k)m'}=x^{k'm}=(x^m)^k=1^k=1 \)

Por otra parte si  \( (x^k)^p=1 \)  entonces \( x^{kp}=1 \) y entonces \( kp \) es múltiplo del orden de \( x \):

\( kp=k'\cdot mcd(m,k)p \) múltiplo de \( m=m'\cdot mcd(m,k) \)

\( k'p \) múltiplo de \( m' \)

Como \( k' \) y \( m' \) son coprimos, \( p \) es múltiplo de \( m' \).

Saludos.