Autor Tema: Forma canónica de Jordan con parámetros

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17 Marzo, 2022, 03:21 pm
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Beautyofmaths

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Buenas, estoy intentado resolver el siguiente ejercicio.
"Dada la matriz \( A=\begin{pmatrix} 0& a & 0 & a\\ b&0 & b & 0 \\ 0 & 0&0 & 1\\ 0&0&1&0\end{pmatrix} \), donde \( a, b \) son reales, calcular todas las posibles formas de Jordan y las correspondientes matrices \( P \) tales que
 \( J=P^{-1}AP \). "
He calculado en primer lugar el polinomio característico y me ha dado igual a  \( (x^2-ab)(x^2-1) \). Entonces, el primer caso en el que he pensado para distinguir es cuando ab=1. Lo que pasa es que he intentado proceder para ese caso pero me he quedado atascado porque no me sale que sea posible calcular la matriz de paso  \( P \) en ese caso. Entonces dudo si esto puede ocurrir o es que me he equivocado haciendo los cálculos. Además, me ha resultado un proceso bastante laborioso teniendo en cuenta que hay varios casos más por distinguir. Muchas gracias por la ayuda.

17 Marzo, 2022, 03:44 pm
Respuesta #1

Masacroso

  • Moderador Global
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Buenas, estoy intentado resolver el siguiente ejercicio.
"Dada la matriz \( A=\begin{pmatrix} 0& a & 0 & a\\ b&0 & b & 0 \\ 0 & 0&0 & 1\\ 0&0&1&0\end{pmatrix} \), donde \( a, b \) son reales, calcular todas las posibles formas de Jordan y las correspondientes matrices \( P \) tales que
 \( J=P^{-1}AP \). "
He calculado en primer lugar el polinomio característico y me ha dado igual a  \( (x^2-ab)(x^2-1) \). Entonces, el primer caso en el que he pensado para distinguir es cuando ab=1. Lo que pasa es que he intentado proceder para ese caso pero me he quedado atascado porque no me sale que sea posible calcular la matriz de paso  \( P \) en ese caso. Entonces dudo si esto puede ocurrir o es que me he equivocado haciendo los cálculos. Además, me ha resultado un proceso bastante laborioso teniendo en cuenta que hay varios casos más por distinguir. Muchas gracias por la ayuda.

Si \( ab<0 \) entonces \( A \) tiene valores propios complejos, ya que el factor \( x^2-ab \) no tiene raíces reales. Por tanto yo diferenciaría entre los casos donde \( ab<0, \, ab=0 \) y \( ab>0 \). El caso más sencillo es cuando \( ab>0 \) y \( ab\neq 1 \), ya que en ese caso todos los valores propios de \( A \) son distintos y por tanto su matriz de Jordan va a ser diagonal, además \( P \) representa el cambio de una base formada por vectores propios de \( A \) a la base canónica de \( \mathbb{R}^4 \).

El ejercicio es algo laborioso, el resto te lo dejo a ti.