Autor Tema: Hallar una matriz ortogonal

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07 Marzo, 2022, 04:55 am
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angelabayona

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a) Hallar los valores propios y los vectores propios correspondientes
b) Hallar una matriz ortogonal \(  U  \) tal que \(  U^{tr} AU= \wedge  \) donde   \(  \wedge =  diag \lambda  \) y \(  \lambda = \ ( \lambda _1...., \lambda_2 )  \) son valores propios de la matriz A

\(  A =\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{0}\\{-1}&{2}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}  \)
Necesito ayuda con la parte b)

07 Marzo, 2022, 05:22 am
Respuesta #1

franma

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Buenas angelabayona,

Una vez que encuentras los valores y vectores propios en el apartado (a), solo falta aplicar la teoría para la parte (b).
La matriz A es simétrica, luego por el teorema espectral (para matrices unitarias) es diagonalizable sobre una base ortonormal de valores propios.

Sea \( B \) la base ortonormal de vectores propios de \( A \) (cuya existencia nos asegura el teorema anterior) . Luego las matrices buscadas son las matrices de cambio de base a la base canónica de \( \mathbb{R}^3 \) y su inversa (que coincidirá con su traspuesta).

Cualquier cosa repregunta.

EDITADO

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

07 Marzo, 2022, 06:18 am
Respuesta #2

ingmarov

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a) Hallar los valores propios y los vectores propios correspondientes
b) Hallar una matriz ortogonal \(  U  \) tal que \(  U^{tr} AU= \wedge  \) donde   \(  \wedge =  diag \lambda  \) y \(  \lambda = \ ( \lambda _1...., \lambda_2 )  \) son valores propios de la matriz A

\(  A =\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{0}\\{-1}&{2}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}  \)
Necesito ayuda con la parte b)

Si P es la matriz cuyas columnas son iguales a los vectores propios de A, deberás aplicar a P el procedimiento de Gram-Schmidt para obtener U.

Te dejo el enlace para que revises la teoría,

https://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_de_ortogonalizaci%C3%B3n_de_Gram-Schmidt

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

08 Marzo, 2022, 10:14 am
Respuesta #3

feriva

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b) Hallar una matriz ortogonal \(  U  \) tal que \(  U^{tr} AU= \wedge  \)

Sólo por mera curiosidad, una pregunta sin demasiada importancia: esa notación “tr”, ¿te viene en el libro así o la has puesto tú?

Te lo digo porque lo habitual (lo que yo he visto en todos sitios) es referirse a la traspuesta con “t”, la notación “tr” se usa normalmente para la traza, que es la suma de los elementos de la diagonal principal.

Saludos.

08 Marzo, 2022, 02:09 pm
Respuesta #4

angelabayona

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Esa notación tr viene en el libro así. No sé si será porque es de los viejitos. Gracias a todos por la ayuda. Pude resolver el ejercicio