Autor Tema: Identificar espacio generado por \[S\]

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06 Marzo, 2022, 12:31 am
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Gabriel Andrango

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Buenas noches, tal vez alguien puede ayudarme con esta pequeña duda:

Dado el conjunto de funciones continuas:

\( \displaystyle{
S = \{ 1, \sin t , \cos t \},
} \)


hallar el conjunto generador \( \langle S \rangle  \).

Estoy confundido ya que no sé si es correcto usar la identidad \( \sin t^2 + \cos t^2 = 1 \) para hallar \( \langle S \rangle  \) para este caso y necesito ese dato para poder hallar la proyección de otra función sobre \( \langle S \rangle  \).

Moderación: \( \LaTeX \) corregido.

06 Marzo, 2022, 12:48 am
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas noches, tal vez alguien puede ayudarme con esta pequeña duda:

Dado el conjunto de funciones continuas:

\( \displaystyle{
S = \{ 1, \sin t , \cos t \},
} \)


hallar el conjunto generador \( \langle S \rangle  \).

Estoy confundido ya que no sé si es correcto usar la identidad \( \sin t^2 + \cos t^2 = 1 \) para hallar \( \langle S \rangle  \) para este caso y necesito ese dato para poder hallar la proyección de otra función sobre \( \langle S \rangle  \).

Moderación: \( \LaTeX \) corregido.


Primero: aunque no lo dices supongo que \( \langle S \rangle  \) es el espacio vectorial generado por \( S \). Eso significa que si \( f\in \langle S \rangle  \) entonces \( f(t)=a+b \sin t+c \cos t \) para determinados elementos \( a,b,c\in \mathbb{K} \), siendo \( \mathbb{K} \) el cuerpo asociado al espacio vectorial \( \langle S \rangle  \) (que usualmente suele ser \( \mathbb{R} \) o \( \mathbb{C} \)).

Si mi interpretación es correcta entonces no necesitas la identidad \( (\sin t)^2+(\cos t)^2=1 \) para nada. Espero haberte ayudado.