[eugeniamfai]

Buenas! Tengo dos Ejercicios de divisibilidad un poco planteados pero no llego a resolverlos

1=Sean \( a, b, c \) pertenecientes a \( \Bbb Z \), tales que el resto de dividir a \( b \) por \( 13 \) es \( 8 \) y \( (a,c)=26 \). Hallar el resto de dividir \( 2c-3b \) por \( 13 \).
 y
2=Sean \( x, y, p  \)(siendo \( p \) primo) y \( (3x+5y, y)=|p| \). Hallar todos los valores posibles de \( p \), ah tambien p no divide a x

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas! Tengo dos Ejercicios de divisibilidad un poco planteados pero no llego a resolverlos

1=Sean \( a, b, c \) pertenecientes a \( \Bbb Z \), tales que el resto de dividir a \( b \) por \( 13 \) es \( 8 \) y \( (a,c)=26 \). Hallar el resto de dividir \( 2c-3b \) por \( 13 \).

No sé muy bien que herramientas puedes usar (aritmética modular o no). Una forma sin ella:

- Si \( (a,c)=26 \) entonces \( c \) es múltiplo de \( 26 \), \( c=26c' \)-
- Si el resto de dividir \( b \) por \( 13 \) es \( 8 \), entonces \( b=13k+8 \).

Entonces:

\( 2c-3b=4\cdot 13\cdot c'-3\cdot 13\cdot k-24=4\cdot 13\cdot c'-3\cdot 13\cdot k-13\cdot 2+2 \)

Por tanto el resto es \( 2 \).
 

2=Sean \( x, y, p  \)(siendo \( p \) primo) y \( (3x+5y, y)=|p| \). Hallar todos los valores posibles de \( p \)

Aquí... lo que tienes es que por las propiedades del mcd, \( (3x+5y,y)=(3x,y) \). Entonces sin más datos lo único que puedes decir es que p es un divisor primo común a \( 3x \) e \( y \).

¿Segura que no faltan datos?.

Saludos.

[eugeniamfai]

Uy, justo edité que p no divide a x

[Luis Fuentes]

Hola

Uy, justo edité que p no divide a x

Si \( p \) no divide a \( x \) y tiene que dividir a \( 3x \), entonces necesariamente \( p \) divide a \( 3 \), luego \( p=-3,-1,1 \) ó \( 3 \).

Saludos.

[Juanchoton]

Entonces:

\( 2c-3b=4\cdot 13\cdot c'-3\cdot 13\cdot k-24=4\cdot 13\cdot c'-3\cdot 13\cdot k-13\cdot 2+2 \)

Por tanto el resto es \( 2 \).

¿Por qué le restaste \( 24 \)? ¿O por qué es que está ahí este \( -24 \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces:

\( 2c-3b=4\cdot 13\cdot c'-3\cdot 13\cdot k-24=4\cdot 13\cdot c'-3\cdot 13\cdot k-13\cdot 2+2 \)

Por tanto el resto es \( 2 \).

¿Por qué le restaste \( 24 \)? ¿O por qué es que está ahí este \( -24 \)?

Previamente:

- Si \( (a,c)=26 \) entonces \( c \) es múltiplo de \( 26 \), \( c=26c' \)-
- Si el resto de dividir \( b \) por \( 13 \) es \( 8 \), entonces \( b=13k+8 \).

Entonces en \( 2c-3b  \) sustituyo \( c \) por \( 26c' \) y \( b \) por \( 13k+8 \):

\( 2c-3b=2\cdot 26c'-3(13k+8)=2\cdot 2\cdot 13c'-3\cdot 13\cdot k-3\cdot 8=4\cdot 13c'-3\cdot 13\cdot k-24=\ldots \)

Saludos.

[Juanchoton]

Que torpe de mi parte, por no leer bien, muchísimas gracias de verdad 

[Juanchoton]

A todo esto se que no tiene mucho que ver pero como puedo crear mi propia pregunta en este foro? Estoy desde el móvil y no me aparece nada para crear una publicacion

[manooooh]

Hola

A todo esto se que no tiene mucho que ver pero cómo puedo crear mi propia pregunta en este foro? Estoy desde el móvil y no me aparece nada para crear una publicación

Simplemente debes ir al subforo donde se adapte mejor tu pregunta y pulsar en "NUEVO TEMA" como se ve aquí:

Saludos