Hola he encontrado algunas ternas mas que satisfacen
\( \frac{z}{xy}+\frac{y}{xz}+\frac{x}{yz}=1 \)
la asignacion a x , y o z es indistinta
tenemos las ya vistas
\( (3,3,3) \) con \( f=1 \)
\( (3,3,6) \) con \( f=\dfrac{9}{4} \)
y ahora
\( (-3,-3,3) \) con \( f=-3 \)
\( (-3,-3,6) \) con una división por cero
y
\( (3,6,15) \) con \( f=\dfrac{321}{40} \)
mientras se hallen valores enteros n,k y x que cumplan
\( n^2=x^2k^2-4(k^2+1) \)
osea que \( 4(k^2+1)=(kx+n)(kx-n) \)
podemos seguir hallando pares sabiendo que \( y=kx \) y que \( z=\dfrac{kx^2\pm x\sqrt{x^2k^2-4(k^2+1)}}{2}=\dfrac{kx^2\pm xn}{2} \)
dudo que con \( k>5 \) haya soluciones
pero viendo que la función f varia de resultado con cada terna ya no veo claro el objetivo del problema.
Saludos