Autor Tema: Encontrar el valor de $$\frac{x^4+y^4+z^4}{xyz(x+y+z)}$$

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18 Enero, 2022, 05:34 pm
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Zaragoza

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Si $$\frac{z}{xy}+\frac{y}{xz}+\frac{x}{yz}=1$$ con $$x,y,z\in\mathbb R^+$$, entonces encontrar el valor de $$\frac{x^4+y^4+z^4}{xyz(x+y+z)}$$.

Me quedé pensando en la hipótesis, yo sé que $$x^2+y^2=xy$$ implica que $$x=y=0$$ pero cuando hay 3 no se me ocurre nada. Alguna idea?

18 Enero, 2022, 08:01 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Si $$\frac{z}{xy}+\frac{y}{xz}+\frac{x}{yz}=1$$ con $$x,y,z\in\mathbb R^+$$, entonces encontrar el valor de $$\frac{x^4+y^4+z^4}{xyz(x+y+z)}$$.

Me quedé pensando en la hipótesis, yo sé que $$x^2+y^2=xy$$ implica que $$x=y=0$$ pero cuando hay 3 no se me ocurre nada. Alguna idea?

Revisa el enunciado.
Los valores \( (x,y,z)=(3,3,3) \) y \( (x,y,z)=(3,3,6) \) cumplen:

$$\frac{z}{xy}+\frac{y}{xz}+\frac{x}{yz}=1$$

Pero sin embargo dan valores distintos al evaluar:

$$g(x,y,z)=\frac{x^4+y^4+z^4}{xyz(x+y+z)}$$

Por una parte \( g(3,3,3)=1 \) pero \( g(3,3,6)=9/4 \).

Saludos.

P.D. Me choca que la hipótesis da una condición que corresponde a un polinomio no homogéneo (los numeradores y denominadores tienen distinto grado, o si quieres simplificando equivale a \( x^2+y^2+z^2=xyz \), a la izquierda grado dos y a la derecha grado tres); mientras que se evalúa en la tesis un cociente de polinomios de igual grado.

18 Enero, 2022, 08:12 pm
Respuesta #2

Zaragoza

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Que interesante yo solo me había percatado de la terna $(3,3,3)$, supuse erróneamente que esa sería la única terca de enteros que cumpliría la hipótesis. Entonces debe haber un error en la tesis, acabo de revisar y no hay error en mi tipeo. Supongo en base a tu comentario que tal vez la hipótesis podría ser en realidad $$\frac{z^2}{xy}+\frac{y^2}{xz}+\frac{x^2}{yz}=1$$ y de esa manera tendríamos en la hipótesis un polinomio homogéneo.

18 Enero, 2022, 08:15 pm
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Supongo será encontrar un máximo o mínimo de \( g \)

18 Enero, 2022, 09:05 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Que interesante yo solo me había percatado de la terna $(3,3,3)$, supuse erróneamente que esa sería la única terca de enteros que cumpliría la hipótesis. Entonces debe haber un error en la tesis, acabo de revisar y no hay error en mi tipeo. Supongo en base a tu comentario que tal vez la hipótesis podría ser en realidad $$\frac{z^2}{xy}+\frac{y^2}{xz}+\frac{x^2}{yz}=1$$ y de esa manera tendríamos en la hipótesis un polinomio homogéneo.

 ¿En qué contexto te aparece el problema? ¿De algún libro? ¿de alguna asignatura?¿de alguna colección de problemas? Aporta toda la información que tengas (y quieras  ;)).

Saludos.

18 Enero, 2022, 10:13 pm
Respuesta #5

Abdulai

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... Supongo en base a tu comentario que tal vez la hipótesis podría ser en realidad $$\frac{z^2}{xy}+\frac{y^2}{xz}+\frac{x^2}{yz}=1$$ y de esa manera tendríamos en la hipótesis un polinomio homogéneo.
Tampoco, de esa manera no existen soluciones todas \( \in \mathbb{R}^+ \)

18 Enero, 2022, 10:50 pm
Respuesta #6

Zaragoza

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Hola

Que interesante yo solo me había percatado de la terna $(3,3,3)$, supuse erróneamente que esa sería la única terca de enteros que cumpliría la hipótesis. Entonces debe haber un error en la tesis, acabo de revisar y no hay error en mi tipeo. Supongo en base a tu comentario que tal vez la hipótesis podría ser en realidad $$\frac{z^2}{xy}+\frac{y^2}{xz}+\frac{x^2}{yz}=1$$ y de esa manera tendríamos en la hipótesis un polinomio homogéneo.

 ¿En qué contexto te aparece el problema? ¿De algún libro? ¿de alguna asignatura?¿de alguna colección de problemas? Aporta toda la información que tengas (y quieras  ;)).

Saludos.
Ese problema lo encontré en una lista de ejercicios de un curso de Matemática básica de primer semestre del año 2018. El tema era desigualdaes y números reales, nada más. Ese era el único problema que no salió y no tenía idea de como afrontar esa hipótesis, luego se vino a la mente más cosas como por ejemplo $$x^2+y^2+z^2=k\cdot xyz$$ donde $$k=1,2,\dots$$ ¿la cantidad de soluciones enteras depende directamente de $$k$$? o tal vez a partir de un $$k$$ ya no existen soluciones enteras etc... pero puse el post para atacar el problema original y de paso ver si alguien conseguía darme alguna luz de como atacar esa hipótesis.

30 Enero, 2022, 10:54 am
Respuesta #7

darthjavier

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Con el contexto del libro del tema de desigualdades, tal vez como dice Juan Pablo pidan hallar mínimos o máximos, un clásico es usar \( \textrm{M.A.}\geq{}\textrm{M.G.} \) (media aritmética mayor o igual que media geométrica):
\( \displaystyle\frac{x^4+y^4+z^4+x^4}{4}\geq{}\sqrt[4]{x^4y^4z^4x^4}=xyz\cdot{}x \)
\( \displaystyle\frac{x^4+y^4+z^4+y^4}{4}\geq{}\sqrt[4]{x^4y^4z^4y^4}=xyz\cdot{}y \)
\( \displaystyle\frac{x^4+y^4+z^4+z^4}{4}\geq{}\sqrt[4]{x^4y^4z^4z^4}=xyz\cdot{}z \)
--------------------------------------------(sumando)
\( x^4+y^4+z^4\geq{}xyz\cdot{}(x+y+z) \)

\( \displaystyle\frac{x^4+y^4+z^4}{xyz\cdot{}(x+y+z)}\geq{}1 \)

ahora no creo que la expresión esté acotada por la condición, tal vez \( x^2+y^2+z^2=xyz \) se podría usar rápidamente en la desiguladad de Cauchy-Schwartz, si tenemos por ejemplo \( (1,1,1) \) y \( (x,y,z) \) entonces:
\( (x+y+z)^2 \leq{} (1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2) \)
\( (x+y+z)^2 \leq{} 3xyz \)
\( \displaystyle\frac{(x+y+z)^2}{xyz} \leq{} 3 \)
\( \displaystyle\frac{(x+y+z)^3}{xyz\cdot{}(x+y+z)} \leq{} 3 \)

fue todo lo que llegué, tal vez alguien pueda continuarlo

30 Enero, 2022, 03:06 pm
Respuesta #8

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Hola he encontrado algunas ternas mas que satisfacen

\( \frac{z}{xy}+\frac{y}{xz}+\frac{x}{yz}=1 \)

la asignacion a x , y o z es indistinta
tenemos las  ya vistas

\( (3,3,3) \)  con \( f=1 \)

\( (3,3,6) \) con \( f=\dfrac{9}{4} \)

y ahora

\( (-3,-3,3) \) con \( f=-3 \)

\( (-3,-3,6) \) con una división por cero
 y

\( (3,6,15) \) con \( f=\dfrac{321}{40} \)

mientras se hallen valores enteros n,k y x que cumplan
\( n^2=x^2k^2-4(k^2+1) \)

osea que \( 4(k^2+1)=(kx+n)(kx-n) \)
podemos seguir hallando pares sabiendo que \( y=kx \)  y que \( z=\dfrac{kx^2\pm x\sqrt{x^2k^2-4(k^2+1)}}{2}=\dfrac{kx^2\pm xn}{2} \)
dudo que con \( k>5 \) haya soluciones

pero  viendo que la función f varia de resultado con cada terna ya no veo claro el objetivo del problema.
Saludos
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)