Autor Tema: Interior y adherencia topología producto

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18 Enero, 2022, 11:31 am
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MatematicaMente

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Buenos días, tengo dificultades a la hora de enfrentarme a topologías producto, cociente, etc.
Estoy ante el siguiente enunciado:
Se considera el espacio producto \( ([0,\infty),T_4)\times S \), S recta de Sorgenfrey. Hallar la adherencia e interior de \( A=[1,2)\times(0,1) \) respecto a la topología producto.

He razonado como sigue:
La recta de Sorgenfrey es el espacio topológico definido sobre la recta real generado por la base: B=\( \{ [a,b):a,b \in \mathbf{R}, a<b\}  \)

Para calcular si un punto es interior o adherente en un e.t. producto \( (X x Y,T^{1} x T^{2}) \) tenemos que tener en cuenta dos cosas:

1) El conjunto que estemos hallando debe ser también un producto i.e., de la forma AxB. En tal caso, el problema que tenemos 'se lleva' a un problema en cada uno de los factores:

int(AxB)=int(A) x int(B)

Luego:

int(\( [1,2)x(0,1) \)) = int([1,2)) x int((0,1)) = (1,2) x (0,1).

2) Para trabajar 'bien' en la topología producto, hay que trabajar con bases de entornos de cada uno de los factores:

Base de entornos de \( x \in [0,\infty) \) en \( T_4 \), B = { \(  B_x | x\in [0,\infty)  \) }, \( B_x=[0,x+\epsilon) \)
Base de entornos de \( x \in (0,1)  \) en S, B = {\( B_{x}^{'} | x \in (-\infty,\infty) \) }, \( B_x=[x,x+\epsilon) \)

Por tanto, una base de entornos de (x,y) en la topología producto \( (T_4, S) \) es {\( [0,x+\epsilon),[x,x+\epsilon) \)}.
Si tomamos ahora \( A=[1,2)x(0,1) \), no hay entornos de los anteriores dentro de A, luego:

int\( ([1,2)x(0,1))=\emptyset \)



No se si estoy razonando bien...

18 Enero, 2022, 12:20 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenos días, tengo dificultades a la hora de enfrentarme a topologías producto, cociente, etc.
Estoy ante el siguiente enunciado:
Se considera el espacio producto \( ([0,\infty),T_4)\times S \), S recta de Sorgenfrey. Hallar la adherencia e interior de \( A=[1,2)\times(0,1) \) respecto a la topología producto.

¿A qué topología te refieres con \( T_4. \)?

Citar
He razonado como sigue:
La recta de Sorgenfrey es el espacio topológico definido sobre la recta real generado por la base: B=\( \{ [a,b):a,b \in \mathbf{R}, a<b\}  \)

Para calcular si un punto es interior o adherente en un e.t. producto \( (X x Y,T^{1} x T^{2}) \) tenemos que tener en cuenta dos cosas:

1) El conjunto que estemos hallando debe ser también un producto i.e., de la forma AxB. En tal caso, el problema que tenemos 'se lleva' a un problema en cada uno de los factores:

int(AxB)=int(A) x int(B)

Luego:

int(\( [1,2)x(0,1) \)) = int([1,2)) x int((0,1)) = (1,2) x (0,1).

Eso está bien suponiendo que el interior de \( [1,2) \) con la topología \( T_4 \) (que no sé cual es) sea \( (1,2) \). Por ejemplo valdría si es la topología usual.

Citar
2) Para trabajar 'bien' en la topología producto, hay que trabajar con bases de entornos de cada uno de los factores:

Aquí empiezas a liarte. En primer lugar esa afirmación es un poco discutible. Uno puede trabajar bien con la topología producto sin bases de entorno, simplemente usando que una base de la topología producto (para dos espacios) la forman productos de abiertos.

Citar
Base de entornos de \( x \in [0,\infty) \) en \( T_4 \), B = { \(  B_x | x\in [0,\infty)  \) }, \( B_x=[0,x+\epsilon) \)
Base de entornos de \( x \in (0,1)  \) en S, B = {\( B_{x}^{'} | x \in (-\infty,\infty) \) }, \( B_x=[x,x+\epsilon) \)

Aquí no se muy bien que haces. Sigo sin saber que topología es la \( T_4 \).

Citar
Por tanto, una base de entornos de (x,y) en la topología producto \( (T_4, S) \) es {\( [0,x+\epsilon),[x,x+\epsilon) \)}.

Debería de ser: \( [0,x+\epsilon),\color{red}[y,y+\epsilon)\color{black} \)

Citar
Si tomamos ahora \( A=[1,2)x(0,1) \), no hay entornos de los anteriores dentro de A, luego:

int\( ([1,2)x(0,1))=\emptyset \)

Antes de pensar si tiene sentido eso, se hace inevitable aclarar cuál es la topología \( T_4 \):

- O está mal lo que has puesto al principio de \( int([1,2))=(1,2) \)
- O está mal el sistema de entornos que has escrito.

Saludos.

18 Enero, 2022, 12:58 pm
Respuesta #2

MatematicaMente

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Buenos días Luis

¿A qué topología te refieres con \( T_4. \)?

La topología es la topología normal y \( T_1 \)

18 Enero, 2022, 02:54 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenos días Luis

¿A qué topología te refieres con \( T_4. \)?

La topología es la topología normal y \( T_1 \)

No. Estás confundiendo las cosas (creo):

Una topología se dice \( T_4 \) si es normal (es decir cerrados disjuntos se separan por abiertos) y además es \( T_1 \) (los puntos son cerrados). Es decir \( T_4 \) es una propiedad que una topología puede tener o no. Pero NO es una topología.

Entonces sigo sin saber que topología usas en el intervalo \( [0,+\infty) \). Hay muchas posibles topologías en ese espacio que cumplen la propiedad \( T_4  \) (por ejemplo la discreta o la usual).

Saludos.