Autor Tema: $$f$$ es integrable

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18 Enero, 2022, 08:57 am
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Zaragoza

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Estaba revisando unos ejercicios y se me ocurrió esta pregunta:
Si $$f$$ es continua en $$]a,b]$$ y $$\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{x}$$ existe, entonces podemos afirmar que $$f$$ es integrable en $$[a,b]$$?
Una intuición un poco tonta tal vez (el límite me indica que la pendiente de la recta tangente cuando $$x\to a^+$$ existe de modo que no es vertical, lo cual me diría que ese punto no se va para infinito), me dice que si puede ser verdadera esta proposición, pero a la vez intento buscar un contraejemplo a ver si clarifica mis ideas. Alguna sugerencia? Cómo lo ven?

18 Enero, 2022, 09:09 am
Respuesta #1

Masacroso

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Estaba revisando unos ejercicios y se me ocurrió esta pregunta:
Si $$f$$ es continua en $$]a,b]$$ y $$\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{x}$$ existe, entonces podemos afirmar que $$f$$ es integrable en $$[a,b]$$?
Una intuición un poco tonta tal vez (el límite me indica que la pendiente de la recta tangente cuando $$x\to a^+$$ existe de modo que no es vertical, lo cual me diría que ese punto no se va para infinito), me dice que si puede ser verdadera esta proposición, pero a la vez intento buscar un contraejemplo a ver si clarifica mis ideas. Alguna sugerencia? Cómo lo ven?

Si \( {\color{red}{\lim_{x\to a^+}g(x)}} \) existe entonces \( {\color{red}{g}} \) es Riemann-integrable en \( [a,b] \), para \( {\color{red}{g(x):=f(x)/x}} \), se puede demostrar tomando sumas de Riemann, observando que el valor que tome en \( a \) la función no influye en el valor de la integral. La idea es que \( g \) es continua en \( (a,b] \) y si el límite por la derecha en \( a \) existe entonces podemos considerar la integral de la función \( \tilde g \) definida como \( \tilde g(x)=g(x) \) para todo \( x\in (a,b] \) y \( \tilde g(a)=\lim_{x\to a^+}g(x) \).

Corrección.

18 Enero, 2022, 09:19 am
Respuesta #2

Zaragoza

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Gracias, lo había pensado así pero me desanimé ya que no vi donde usar el dato del límite. Alguna idea?

18 Enero, 2022, 09:38 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Si \( f(a) \) existe entonces \( f \) es Riemann-integrable en \( [a,b] \), se puede demostrar tomando sumas de Riemann, observando que el valor que tome en \( a \) la función no influye en el valor de la integral.

Ojo, Si \( f(x) \) no es continua en \( a \), la existencia de \( f(a) \) no garantiza que la función sea integrable.

Por otra parte si tomas \( g(x)=f(x)/x \) es una función continua en \( [a,b] \) (definiendo \( g(a)=\displaystyle\lim_{x \to a^+}{}f(x)/x) \)). Entonces \( h(x)=g(x)\cdot x \) es continua en \( [a,b]  \) (por ser producto de continuas) y por tanto integrable en \( [a,b] \). Pero entonces también es integrable en \( (a,b]\subset [a,b] \) y en ese intervalo coincide con \( f \).

Saludos.

18 Enero, 2022, 09:46 am
Respuesta #4

Masacroso

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Hola

Si \( f(a) \) existe entonces \( f \) es Riemann-integrable en \( [a,b] \), se puede demostrar tomando sumas de Riemann, observando que el valor que tome en \( a \) la función no influye en el valor de la integral.

Ojo, Si \( f(x) \) no es continua en \( a \), la existencia de \( f(a) \) no garantiza que la función sea integrable.

Por otra parte si tomas \( g(x)=f(x)/x \) es una función continua en \( [a,b] \) (definiendo \( g(a)=\displaystyle\lim_{x \to a^+}{}f(x)/x) \)). Entonces \( h(x)=g(x)\cdot x \) es continua en \( [a,b]  \) (por ser producto de continuas) y por tanto integrable en \( [a,b] \). Pero entonces también es integrable en \( (a,b]\subset [a,b] \) y en ese intervalo coincide con \( f \).

Saludos.

Cierto, despiste el mío, se me había pasado por alto que \( f(x)/x \) podía no ser integrable en \( (a,b] \) a pesar de ser continua, por ejemplo si \( f(x)/x \) no estuviese acotada en \( (a,b] \). Pero si el límite por la derecha existe entonces sí sería integrable, que es el caso que propone Zaragosa. Ahora edito arriba arriba para aclarar la situación.

18 Enero, 2022, 05:54 pm
Respuesta #5

Zaragoza

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Hola

Si \( f(a) \) existe entonces \( f \) es Riemann-integrable en \( [a,b] \), se puede demostrar tomando sumas de Riemann, observando que el valor que tome en \( a \) la función no influye en el valor de la integral.

Ojo, Si \( f(x) \) no es continua en \( a \), la existencia de \( f(a) \) no garantiza que la función sea integrable.

Por otra parte si tomas \( g(x)=f(x)/x \) es una función continua en \( [a,b] \) (definiendo \( g(a)=\displaystyle\lim_{x \to a^+}{}f(x)/x) \)). Entonces \( h(x)=g(x)\cdot x \) es continua en \( [a,b]  \) (por ser producto de continuas) y por tanto integrable en \( [a,b] \). Pero entonces también es integrable en \( (a,b]\subset [a,b] \) y en ese intervalo coincide con \( f \).

Saludos.

Entiendo, no lo había visto de esa manera. Gracias a ambos por la ayuda