[Zaragoza]

Estaba revisando unos ejercicios y se me ocurrió esta pregunta:
Si $$f$$ es continua en $$]a,b]$$ y $$\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{x}$$ existe, entonces podemos afirmar que $$f$$ es integrable en $$[a,b]$$?
Una intuición un poco tonta tal vez (el límite me indica que la pendiente de la recta tangente cuando $$x\to a^+$$ existe de modo que no es vertical, lo cual me diría que ese punto no se va para infinito), me dice que si puede ser verdadera esta proposición, pero a la vez intento buscar un contraejemplo a ver si clarifica mis ideas. Alguna sugerencia? Cómo lo ven?

[Masacroso]

Estaba revisando unos ejercicios y se me ocurrió esta pregunta:
Si $$f$$ es continua en $$]a,b]$$ y $$\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{x}$$ existe, entonces podemos afirmar que $$f$$ es integrable en $$[a,b]$$?
Una intuición un poco tonta tal vez (el límite me indica que la pendiente de la recta tangente cuando $$x\to a^+$$ existe de modo que no es vertical, lo cual me diría que ese punto no se va para infinito), me dice que si puede ser verdadera esta proposición, pero a la vez intento buscar un contraejemplo a ver si clarifica mis ideas. Alguna sugerencia? Cómo lo ven?

Si \( {\color{red}{\lim_{x\to a^+}g(x)}} \) existe entonces \( {\color{red}{g}} \) es Riemann-integrable en \( [a,b] \), para \( {\color{red}{g(x):=f(x)/x}} \), se puede demostrar tomando sumas de Riemann, observando que el valor que tome en \( a \) la función no influye en el valor de la integral. La idea es que \( g \) es continua en \( (a,b] \) y si el límite por la derecha en \( a \) existe entonces podemos considerar la integral de la función \( \tilde g \) definida como \( \tilde g(x)=g(x) \) para todo \( x\in (a,b] \) y \( \tilde g(a)=\lim_{x\to a^+}g(x) \).

Corrección.

[Zaragoza]

Gracias, lo había pensado así pero me desanimé ya que no vi donde usar el dato del límite. Alguna idea?

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( f(a) \) existe entonces \( f \) es Riemann-integrable en \( [a,b] \), se puede demostrar tomando sumas de Riemann, observando que el valor que tome en \( a \) la función no influye en el valor de la integral.

Ojo, Si \( f(x) \) no es continua en \( a \), la existencia de \( f(a) \) no garantiza que la función sea integrable.

Por otra parte si tomas \( g(x)=f(x)/x \) es una función continua en \( [a,b] \) (definiendo \( g(a)=\displaystyle\lim_{x \to a^+}{}f(x)/x) \)). Entonces \( h(x)=g(x)\cdot x \) es continua en \( [a,b]  \) (por ser producto de continuas) y por tanto integrable en \( [a,b] \). Pero entonces también es integrable en \( (a,b]\subset [a,b] \) y en ese intervalo coincide con \( f \).

Saludos.

[Masacroso]

Hola

Si \( f(a) \) existe entonces \( f \) es Riemann-integrable en \( [a,b] \), se puede demostrar tomando sumas de Riemann, observando que el valor que tome en \( a \) la función no influye en el valor de la integral.

Ojo, Si \( f(x) \) no es continua en \( a \), la existencia de \( f(a) \) no garantiza que la función sea integrable.

Por otra parte si tomas \( g(x)=f(x)/x \) es una función continua en \( [a,b] \) (definiendo \( g(a)=\displaystyle\lim_{x \to a^+}{}f(x)/x) \)). Entonces \( h(x)=g(x)\cdot x \) es continua en \( [a,b]  \) (por ser producto de continuas) y por tanto integrable en \( [a,b] \). Pero entonces también es integrable en \( (a,b]\subset [a,b] \) y en ese intervalo coincide con \( f \).

Saludos.

Cierto, despiste el mío, se me había pasado por alto que \( f(x)/x \) podía no ser integrable en \( (a,b] \) a pesar de ser continua, por ejemplo si \( f(x)/x \) no estuviese acotada en \( (a,b] \). Pero si el límite por la derecha existe entonces sí sería integrable, que es el caso que propone Zaragosa. Ahora edito arriba arriba para aclarar la situación.

[Zaragoza]

Hola

Si \( f(a) \) existe entonces \( f \) es Riemann-integrable en \( [a,b] \), se puede demostrar tomando sumas de Riemann, observando que el valor que tome en \( a \) la función no influye en el valor de la integral.

Ojo, Si \( f(x) \) no es continua en \( a \), la existencia de \( f(a) \) no garantiza que la función sea integrable.

Por otra parte si tomas \( g(x)=f(x)/x \) es una función continua en \( [a,b] \) (definiendo \( g(a)=\displaystyle\lim_{x \to a^+}{}f(x)/x) \)). Entonces \( h(x)=g(x)\cdot x \) es continua en \( [a,b]  \) (por ser producto de continuas) y por tanto integrable en \( [a,b] \). Pero entonces también es integrable en \( (a,b]\subset [a,b] \) y en ese intervalo coincide con \( f \).

Saludos.

Entiendo, no lo había visto de esa manera. Gracias a ambos por la ayuda