Hola
Hola, estoy intentando ver en qué puntos de \( \mathbb{R} \), la siguiente función por partes es continua y en qué puntos es derivable:
\( f(x) =\begin{cases}{0}&\text{si}& x\in{\mathbb{I}} \\sin|x|& \text{si}& x\in{\mathbb{Q}}\end{cases} \), donde \( \mathbb{I} \) es el conjunto de los irracionales.
A mí me ha salido que los puntos donde la función es continua solo son los \( x\in{\mathbb{I}} \) y los \( x\in{\mathbb{Q}} ~~ t.q. x=n\pi, n\in{\mathbb{Z}} \).
Pero no está bien la continuidad. No es cierto que sea continua en todos los irracionales. Y por otra parte salvo para \( x=0 \), cualquier otro punto de la forma \( x=n\pi \) con \( n\in \Bbb Z \) no puede ser racional.
La función es continua sólo en los puntos de la forma \( x=n\pi \) con \( n\in \Bbb Z \) (entre ellos sólo \( x=0 \) es racional). El motivo es que los dos conjunto sobre los cuáles están definidos la función a trozos son densos en los reales. Entonces para cualquier \( x_0\in \Bbb R \), uno se puede aproximar a \( x_0 \) sobre los racionales o sobre los irracionales.
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,\,x\in \Bbb Q}{}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to x_0}{}sin|x|=sin|x_0| \)
\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,\,x\in \Bbb I}{}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to x_0}{}0=0 \)
Para que exista el límite ambos deben de coincidir: \( sin|x_0|=0 \). Equivalentemente \( x_0=n\pi \) con \( n\in \Bbb Z \). Además en esos casos coincide con el valor de la función que es cero.
No es derivable en ninguno de esos puntos por el motivo que ha esbozado Juan Pablo Sanchez.
Saludos.
