[Beautyofmaths]

Hola buenas, estoy haciendo el siguiente ejercicio: "Demostrar que si A
es un subconjunto no vacío tal que \( A\subset{\mathbb{R}}  \) y \(  sup(A)=\alpha \), entonces \( \alpha \) es un punto de acumulación de A."
Lo he intentado hacer pero tengo dudas sobre si mi razonamiento es correcto.
Yo he pensado en la sucesión de elementos de A: \( a_n={a_1,a_2,\cdots}  \). Podemos elegir dos de estos elementos: \( a_i, a_j \)  tal que \( a_j>a_i  \) porque si la sucesión fuera constante entonces \( \alpha \in A  \) y sería máximo. Así , la subsucesión \( x_n=\alpha-\frac{a_j-a_i} {n}  \) es de elementos de A porque, por la definición de supremo, \(  \forall{\epsilon}>0\exists{x}\in A/sup(A)-\epsilon<x \), y tiende claramente a alfa. Por tanto, el supremo es punto de acumulación.
Gracias.

[Beautyofmaths]

Se me ha olvidado poner la condición de que \(  \alpha\not\in\mathbb{R} \).

[Beautyofmaths]

Perdón, otro lapsus: la condición es que \(  \alpha\not\in A  \)

[Juan Pablo Sancho]

Para \( \epsilon = 1  \) existe \( a_1 \in A  \) con \( \alpha - 1 < a_1 \leq \alpha  \)
Para \( \epsilon = \dfrac{1}{2}  \) existe \( a_2 \in A  \) con \( \alpha - \dfrac{1}{2} < a_2 \leq \alpha  \)
..........................................................
Para \( \epsilon = \dfrac{1}{n}  \) existe \( a_n \in A  \) con \( \alpha - \dfrac{1}{n} < a_n \leq \alpha  \)
Mira que pasa con la sucesión \( \{a_k\}_{k=1}^{+\infty}  \).

Editado
Pero la subsucesión que propones no tiene por que ser de elemntos de \( A \).
Toma por ejemplo \( A = ]0,\sqrt{2}[ \cap \mathbb{Q}  \).
Para ningún par \( a_i , a_j  \) de elementos de \( A \) se tiene que \(  \sqrt{2} - \dfrac{a_j-a_i}{n} \in A  \)

Editado
Hay que decir que con esas hipótesis es falso el enunciado.
Toma:
 \( \mathcal{A} = \{1,2\}  \) o \( \mathcal{B} = [0,1] \cup \{5\}  \) entonces no se cumple.