Autor Tema: Concepto de continuidad

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18 Enero, 2022, 12:33 am
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mg

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Hola,

Hoy traigo un tema que me ha llamado la atención. En uno de los vídeos, el profesor de unicoos estudiando la continuidad de la función \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{x} \) dice que es discontinua, y esto ha creado polémica con otros divulgadores de matemáticas. Dejo aquí uno de los videos respuesta.


Puesto que tengo mucho respeto por las personas que forman esta comunidad matemática, quería preguntaros por vuestra posición en este tema. (que debería ser única). Si a mi me preguntaran, diría que la función que se propone es continua, porque en cada punto del dominio lo es, y ciertamente no se puede estudiar la continuidad en puntos que no son del dominio. Sin embargo, es cierto que presenta una discontinuidad en 0, pues es punto de acumulación. Por lo tanto lo que pienso es que simplemente continuidad y discontinuidad no son excluyentes. Es decir una función puede ser continua y dsicontinua a la vez, en vista de este caso (claro que un punto en concreto de la función solo puede ser una de las dos).

Un saludo.

18 Enero, 2022, 01:01 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Hola,

Hoy traigo un tema que me ha llamado la atención. En uno de los vídeos, el profesor de unicoos estudiando la continuidad de la función \( f(\displaystyle\frac{1}{x}) \) dice que es discontinua, y esto ha creado polémica con otros divulgadores de matemáticas. Dejo aquí uno de los videos respuesta.


Puesto que tengo mucho respeto por las personas que forman esta comunidad matemática, quería preguntaros por vuestra posición en este tema. (que debería ser única). Si a mi me preguntaran, diría que la función que se propone es continua, porque en cada punto del dominio lo es, y ciertamente no se puede estudiar la continuidad en puntos que no son del dominio. Sin embargo, es cierto que presenta una discontinuidad en 0, pues es punto de acumulación. Por lo tanto lo que pienso es que simplemente continuidad y discontinuidad no son excluyentes. Es decir una función puede ser continua y dsicontinua a la vez, en vista de este caso (claro que un punto en concreto de la función solo puede ser una de las dos).

Un saludo.
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Pones la continuidad de \( f(\dfrac{1}{x})  \) cuando en el video pones la contiunidad de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \).

Evidentemente \( f(x) = \dfrac{1}{x}  \) es continua en su dominio, no veo el error.

Es como decir que como:
 \( -\dfrac{1}{n}  \) es negativo para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces \( 0 \) es negativo por ser punto de acumulación.
\( \dfrac{1}{n}  \) es positivo para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces \( 0 \) es positivo por ser punto de acumulación.

18 Enero, 2022, 07:05 am
Respuesta #2

Masacroso

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De esto se ha hablado ya en otros hilos, no sé exactamente cuáles, pero es un tema recurrente del foro. Lo que ocurre es que la definición de función continua que se utiliza en la ESO y bachiller (en España), y creo que determina el ministerio de educación, difiere de la verdadera definición de continuidad, la que se utiliza a nivel universitario en todo el mundo.

En la ESO y bachiller creo que se dice que una función real es continua en un punto si y solo si sus dos límites laterales existen y son iguales. En este punto hay que observar que no se utiliza tampoco la definición de función normal sino una más intuitiva y menos formal, por ejemplo es típico definir una función en la ESO y bachiller sin especificar su dominio y codominio sino simplemente por una relación algebraica en \( \mathbb{R} \), como por ejemplo \( f(x)=1/x \). Entonces como \( \lim_{x\to 0}f(x) \) no existe se dice que la función es discontinua en el cero, pero eso no sería cierto a un nivel universitario ya que en principio \( f \) ni siquiera sería una función porque no se ha especificado su dominio y codominio, y como el cero no podría pertenecer al dominio de una función como relación algebraica \( x\mapsto 1/x \) (porque dividir por cero no tiene sentido, al menos en el caso general) entonces decir que tal función fuese o no continua en un punto donde tal función no existe no tiene mucho sentido.

En definitiva, es una cuestión de pedagogía, la noción de continuidad y de función que se utiliza en la ESO y bachiller (no sé si en todos los cursos) no son las definiciones que utilizan los matemáticos. Alguien que dé clases en un instituto seguro podrá aclararlo mucho mejor que yo.

18 Enero, 2022, 08:26 am
Respuesta #3

geómetracat

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En la ESO y bachiller creo que se dice que una función real es continua en un punto si y solo si sus dos límites laterales existen y son iguales.
Y además coinciden con el valor de la función en el punto.
Esta definición en principio es equivalente a la definición usual de continuidad. El problema empieza cuando el dominio de la función no es todo \[ \Bbb R \], no está definida la función en un punto, o no tiene sentido plantearse el límite o algún límite lateral (por ejemplo, en un punto aislado del dominio, o si la función solamente está definida hacia un lado del punto). Si la función no está definida en un punto no tiene sentido plantearse la continuidad ahí, pero sí que puede tener sentido plantearse si existe el límite (si es punto de acumulación del dominio), o los límites laterales. El problema es que en esas situaciones hay profesores (como el de unicoos, David Calle) que dicen que si la función no está definida en el punto ya no es continua. Este convenio es contrario al que se usa universalmente en matemáticas superiores. Pero al final no deja de ser una cuestión de convenio.

Otra cosa es que, en este caso particular, David Calle empezó una huída hacia delante en twitter defendiendo a muerte que la función \[ f(x)=1/x \] no era continua, y llegó a decir cosas como "si es continua, ¿cómo es que no se cumple el teorema de Bolzano en un intervalo \[ [-a,a] \]?", que a mi entender denotan un grave problema conceptual en un profesor de matemáticas.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

18 Enero, 2022, 08:36 am
Respuesta #4

Masacroso

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Otra cosa es que, en este caso particular, David Calle empezó una huída hacia delante en twitter defendiendo a muerte que la función \[ f(x)=1/x \] no era continua, y llegó a decir cosas como "si es continua, ¿cómo es que no se cumple el teorema de Bolzano en un intervalo \[ [-a,a] \]?", que a mi entender denotan un grave problema conceptual en un profesor de matemáticas.

No estaba al tanto de esto. Sí, su persistencia denota ya algo más serio, ya que esos conceptos son elementales, de primer año de carrera. Muy raro que alguien que dé clases de matemáticas no sepa eso.

18 Enero, 2022, 09:12 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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18 Enero, 2022, 09:19 am
Respuesta #6

martiniano

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Hola.

Vaya por delante que no tengo mucha idea de lo que hace esta persona ni de la actitud que haya tomado frente a este asunto. Desde luego yo pienso que todo esto se arregla admitiendo que todo es cuestión del convenio que se tome, como ya habéis dicho por aquí.

Ahora bien, no acabo de entender la crítica que le hacéis en cuanto a lo de que la función \[ f(x) =\displaystyle\frac{1}{x} \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano en el intérvalo \[ [-a, a]  \]. Si he entendido bien la situación él defiende que es porque es discontinua en \[ x=0 \], y supongo que decís que debería haber dicho que en tal intérvalo está el cero, valor para el que no está definida la función. Pero esta diferencia en los argumentos, ¿no es precisamente "la cuestión de convenio"?

Un saludo.

Pd. Luis ha adjuntado enlaces mientras escribía. Voy a intentar echarles un vistazo.

18 Enero, 2022, 09:28 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Ahora bien, no acabo de entender la crítica que le hacéis en cuanto a lo de que la función \[ f(x) =\displaystyle\frac{1}{x} \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano en el intérvalo \[ [-a, a]  \]. Si he entendido bien la situación él defiende que es porque es discontinua en \[ x=0 \], y supongo que decís que debería haber dicho que en tal intérvalo está el cero, valor para el que no está definida la función. Pero esta diferencia en los argumentos, ¿no es precisamente "la cuestión de convenio"?

Él parece argumentar que si se admite que es continua, entonces el Teorema de Bolzano fallaría (no lo llega a decir explícitamente) para la función \( f(x)=1/x \) en \( [-a,a]. \) Pero el Teorema de Bolzano no falla, sino que simplemente no se puede aplicar porque no estamos en las hipótesis (no hay que hablar ni de continuidad): la función no está definida en ese intervalo.

Entonces si él tiene claro eso. ¿Por qué lo usa como argumento para reforzar que \( 1/x \) no se puede considerar continua?. Es decir, o bien tiene algún error concpetual ahí (quizá pasajero, es decir, un despiste) o simplemente citar el Teorema de Bolzano no aporta nada al debate.

Por cierto cuando se dice que un Teorema fallaría yo entiendo a que se refiere a que se cumplen las hipótesis pero no la tesis; si directamente no se cumplen las hipótesis es que el teorema no se puede aplicar, que es distinto.

Por otra parte es cierto que David Calle, añade en la mayoría de sus frases "... en el punto \( x=0 \)...", y es cierto que \( f(x)=1/x \) no es continua en \( x=0 \), pero el motivo es que no está definida en ese punto: no tiene sentido hablar de continuidad.

El inicio de la polémica estuvo en el twitt de otro youtuber conocido Juan Medina:

https://yosoytuprofe.20minutos.es/2022/01/14/la-funcion-es-continua-el-debate-de-dos-famosos-youtubers-david-calle-juan-medina/

El caso es que él dijo: "No me canso de decir que la función f(x)=1/x es CONTINUA."

A partir de ahí, creo, surgieron las réplicas de David Calle.

Por cierto totalmente de acuerdo con esto:

Citar
Vaya por delante que no tengo mucha idea de lo que hace esta persona ni de la actitud que haya tomado frente a este asunto. Desde luego yo pienso que todo esto se arregla admitiendo que todo es cuestión del convenio que se tome, como ya habéis dicho por aquí.

El problema es que en esas situaciones hay profesores (como el de unicoos, David Calle) que dicen que si la función no está definida en el punto ya no es continua. Este convenio es contrario al que se usa universalmente en matemáticas superiores. Pero al final no deja de ser una cuestión de convenio.

Creo que un debate de este tipo es imprescindible hacer mención a ese matiz

Saludos.

CORREGIDO

18 Enero, 2022, 11:13 pm
Respuesta #8

martiniano

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Hola.

Él parece argumentar que si se admite que es continua, entonces el Teorema de Bolzano fallaría (no lo llega a decir explícitamente) para la función \( f(x)=1/x \) en \( [-a,a]. \) Pero el Teorema de Bolzano no falla, sino que simplemente no se puede aplicar porque no estamos en las hipótesis (no hay que hablar ni de continuidad): la función no está definida en ese intervalo.

Entonces si él tiene claro eso. ¿Por qué lo usa como argumento para reforzar que \( 1/x \) no se puede considerar continua?

Pues supongo que por lo que tú has dicho en el párrafo anterior. Supongo que su "defensa" consiste en algo así:

El teorema de Bolzano puede enunciarse como sigue:

Si \[ f(x) \] es continua en \[ [a, b] \] y \[ f(a) f(b) <0 \] entonces existe \[ c\in{(a, b) } \] tal que \[ f(c) =0 \].

Si \[ f(x) =1/x \] fuese continua en \[ [-1,1] \] como \[ f(-1)=-1<0 \] y  \[ f(1)=1>0 \] por Bolzano tendríamos que existe \[ x_0\in{(-1,1)} \] tal que \[ f(x_0)=0 \]. Como tal \[ x_0 \] no existe (y el teorema de Bolzano no puede fallar) entonces \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \].

A mí me parece que estamos en las mismas, pero bueno... Es decir, sigue estando abierto el debate sobre si \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \] ¿porque tiene puntos de discontinuidad, o porque tiene puntos en los que no está definida? (Y también está el detalle, un tanto tramposo, de que cuando enuncio el teorema de Bolzano no digo nada sobre el dominio de \[ f \]...).

Pues no sé... Cuestión de convenio sobre un simple sintagma... No creo que haya mucho más...

A mí la verdad es que me parece muy natural decir, en el contexto del ejercicio, que una función es discontinua en un punto aislado del complementario de su dominio. Juraría que también lo he visto en literatura universitaria. Concretamente cuando se habla de discontinuidades evitables.

Por curiosidad, entre estas frases, ¿cuáles os chirrían más y cuáles menos?

\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.

Gracias. Un saludo.  ;)

18 Enero, 2022, 11:59 pm
Respuesta #9

manooooh

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Hola

\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.

Para mí todas las oraciones son verdaderas (y por tanto bien formuladas), salvo la última, porque en \( x=0 \) la función no es ni continua ni discontinua; por lo tanto es falsa.

Saludos