Autor Tema: Concepto de continuidad

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19 Enero, 2022, 01:02 am
Respuesta #10

mg

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Pones la continuidad de \( f(\dfrac{1}{x})  \) cuando en el video pones la contiunidad de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \).

Evidentemente \( f(x) = \dfrac{1}{x}  \) es continua en su dominio, no veo el error.

Es como decir que como:
 \( -\dfrac{1}{n}  \) es negativo para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces \( 0 \) es negativo por ser punto de acumulación.
\( \dfrac{1}{n}  \) es positivo para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces \( 0 \) es positivo por ser punto de acumulación.


Corregido.


\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.

Gracias. Un saludo.  ;)

A mi me chirrian un poco las tres primeras, puesto que en realidad siempre he dado por hecho que cuando se dice que una función es continua lo es en su dominio (sino el dado, pues el dominio de existencia). Y después de haber leído el hilo y reforzar los conceptos de continuidad pues las últimas dos no estaría de acuerdo. Porque en \( x=0 \) no se puede estudiar la continuidad, luego no es ni continua ni deja de serlo.


A posta del tema, en un video de uno de los implicados dice que discontinua no es lo mismo que no continua, y ahí si que discrepo, a menos que usteden me aclaren. El caso es, que habiendo convenido, que la continuidad se estudia en los puntos del dominio, supongamos ahora que tenemos una función y en un punto de su dominio no es continua, esto implicaría que la función es discontinua en ese punto, y por tanto al existir un punto de discontinuidad decimos que la función es discontinua. ¿Qué opinan?

A esto se refiere el profesor de lasmatematicas.es en el minuto 5:13 del siguiente video.

Consultando mis apuntes de 1º veo que dicen que se dirá que la función es discontinua en un punto del dominio si no es continua. Luego los puntos de acumulación del dominio que no pertenezcan al dominio quedan fuera de estudio. Y además no continuidad es lo mismo que discontinuidad.


Un saludo.

19 Enero, 2022, 01:31 am
Respuesta #11

Juan Pablo Sancho

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Es como decir que \( f(x) = \sqrt{1-x^2}  \) no es continua por que no lo es en \( x = 5 \), pero el dominio de \( f \) es \( [-1,1]  \), no puedes estudiar la continuidad fuera del dominio, tampoco puedes decir  que es discontinua en \( x = 5 \), no está definida en ese punto.

Si tenemos \( f(x) = \dfrac{1}{x}  \) para \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}  \) y \( f(0) = a \in \mathbb{R}  \) esta función si es discontinua en el cero para todo valor de \( a \).

19 Enero, 2022, 07:46 am
Respuesta #12

geómetracat

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El teorema de Bolzano puede enunciarse como sigue:

Si \[ f(x) \] es continua en \[ [a, b] \] y \[ f(a) f(b) <0 \] entonces existe \[ c\in{(a, b) } \] tal que \[ f(c) =0 \].

Si \[ f(x) =1/x \] fuese continua en \[ [-1,1] \] como \[ f(-1)=-1<0 \] y  \[ f(1)=1>0 \] por Bolzano tendríamos que existe \[ x_0\in{(-1,1)} \] tal que \[ f(x_0)=0 \]. Como tal \[ x_0 \] no existe (y el teorema de Bolzano no puede fallar) entonces \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \].

A mí me parece que estamos en las mismas, pero bueno... Es decir, sigue estando abierto el debate sobre si \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \] ¿porque tiene puntos de discontinuidad, o porque tiene puntos en los que no está definida? (Y también está el detalle, un tanto tramposo, de que cuando enuncio el teorema de Bolzano no digo nada sobre el dominio de \[ f \]...).
Es que nadie dice que \[ f \] sea continua en \[ [-1,1] \]. Unos dicen que no es continua en \[ [-1,1] \] y otros que la función es continua (a secas, se sobreentiende en su dominio). Pero para los segundos decir que la función es continua o no en \[ 0 \] no tiene sentido porque no es un punto del dominio.

Y lo que está mal, a mi parecer, es defender que la función \[ 1/x \] no puede ser continua porque en otro caso fallaría Bolzano, cuando Bolzano se enuncia para funciones definidas en todo un intervalo \[ [a,b] \]. Por supuesto que si una función no está definida en todo el intervalo Bolzano ya no se aplica, pero eso no dice nada sobre su continuidad o no.

Citar
A mí la verdad es que me parece muy natural decir, en el contexto del ejercicio, que una función es discontinua en un punto aislado del complementario de su dominio. Juraría que también lo he visto en literatura universitaria. Concretamente cuando se habla de discontinuidades evitables.
Yo a eso lo llamo "singularidad evitable".  :P Precisamente para evitar la nomenclatura de "discontinuidad". Pero vamos, que es cuestión de nomenclatura y convenio.

Citar
Por curiosidad, entre estas frases, ¿cuáles os chirrían más y cuáles menos?

\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.

Gracias. Un saludo.  ;)
Para mí: las dos primeras sin discusión, el resto me chirría más pero tampoco creo que estén mal.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Enero, 2022, 09:31 am
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

El teorema de Bolzano puede enunciarse como sigue:

Si \[ f(x) \] es continua en \[ [a, b] \] y \[ f(a) f(b) <0 \] entonces existe \[ c\in{(a, b) } \] tal que \[ f(c) =0 \].

Si \[ f(x) =1/x \] fuese continua en \[ [-1,1] \] como \[ f(-1)=-1<0 \] y  \[ f(1)=1>0 \] por Bolzano tendríamos que existe \[ x_0\in{(-1,1)} \] tal que \[ f(x_0)=0 \]. Como tal \[ x_0 \] no existe (y el teorema de Bolzano no puede fallar) entonces \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \].

A mí me parece que estamos en las mismas, pero bueno... Es decir, sigue estando abierto el debate sobre si \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \] ¿porque tiene puntos de discontinuidad, o porque tiene puntos en los que no está definida? (Y también está el detalle, un tanto tramposo, de que cuando enuncio el teorema de Bolzano no digo nada sobre el dominio de \[ f \]...).
Es que nadie dice que \[ f \] sea continua en \[ [-1,1] \]. Unos dicen que no es continua en \[ [-1,1] \] y otros que la función es continua (a secas, se sobreentiende en su dominio). Pero para los segundos decir que la función es continua o no en \[ 0 \] no tiene sentido porque no es un punto del dominio.

Y lo que está mal, a mi parecer, es defender que la función \[ 1/x \] no puede ser continua porque en otro caso fallaría Bolzano, cuando Bolzano se enuncia para funciones definidas en todo un intervalo \[ [a,b] \]. Por supuesto que si una función no está definida en todo el intervalo Bolzano ya no se aplica, pero eso no dice nada sobre su continuidad o no.

¡Claro! Totalmente de acuerdo con geómetracat. Como ejemplo para incidir en la idea pensemos en la función \( f(x)=x\ln(x^2-1) \). Creo que unos y otros estarían de acuerdo en afirmar que esta función es continua. La gráfica es esta:



¿Hay acaso algún conflicto entonces con el teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \) (sombreado en el dibujo)?. No. El Teorema no aplica porque la función no está definida en todos los puntos del intervalo \( [-1.3,1.3] \), y no tiene nada que ver la continuidad o no. Lo mismo con la función que nos ocupa.

Citar
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Por curiosidad, entre estas frases, ¿cuáles os chirrían más y cuáles menos?

\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.

Gracias. Un saludo.  ;)
Para mí: las dos primeras sin discusión, el resto me chirría más pero tampoco creo que estén mal.

También de acuerdo con geómetracat (él ha querido decir que las que menos le chirrían son las dos primeras).

Quiero hacer hincapié una vez más en que todo es cuestión de convenio. A mi no me parece tan mal el convenio que se usa en Bachillerato, pero es bueno que un profesor sea consciente de que las limitaciones del mismo. Creo que quien se meta en un debate de este tipo defienda una u otra posición tiene que hacer alusión a que todo depende de la definición de cada concepto (continuidad, discontinuidad). El conflicto prácticamente desaparece entonces.

Tengo curiosidad por saber exactamente cómo desarrollan la teoría al respecto los libros de Bachillerato. Sospecho que muchos no son 100% rigurosos (y puede ser lógico por el nivel para el cuál están escritos), o dejan el el aire ciertos matices. Con rigurosos no me refiero a seguir uno u otro criterio, si no a presentar las cosas de manera totalmente coherente.

Buscando por internet libros descargables, me he topado con dos.

En este (continuidad: pág 237; discontinuidades: pág 239), si uno sigue al pie de la letra las definiciones, la función \( f(x)=\ln(x) \) sería, por ejemplo, discontinua en \( x=-4 \). Lo cual no tiene mucho sentido. El motivo es que para ser continua en un punto pone como condición que la función esté definida en él y luego define discontinuidad como un punto donde no es continua.

En este otro sin embargo define continuidad (pág 100 del PDF) sólo sobre puntos del dominio; después sin embargo permite hablar de discontinuidad evitable (pág 101 del PDF) en puntos donde no está definida pero si existen los límites laterales. Esto es más coherente. Simplemente ahí punto de discontinuidad no es lo mismo que punto donde no es continua.

Saludos.

19 Enero, 2022, 10:58 am
Respuesta #14

Masacroso

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Por rizar un poco el rizo, incluso podríamos decir que \( f:\hat{\mathbb C}\to \hat{\mathbb C},\, z\mapsto 1/z \) es continua (de hecho es una involución) donde \( \hat{\mathbb C} \) sería la esfera de Riemann. Por tanto cualquier restricción de \( f \) a algún subconjunto de \( \hat{\mathbb C} \) seguiría siendo continua.

 >:D


19 Enero, 2022, 11:22 am
Respuesta #15

martiniano

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Hola.

Es como decir que \( f(x) = \sqrt{1-x^2}  \) no es continua por que no lo es en \( x = 5 \), pero el dominio de \( f \) es \( [-1,1]  \), no puedes estudiar la continuidad fuera del dominio, tampoco puedes decir  que es discontinua en \( x = 5 \), no está definida en ese punto.

Sí. Desde luego que esto sonaría muy mal. De todas formas, creo que no es lo mismo que el caso que nos ocupa, que a mí no me suena tan mal. Supongo que la razón es que el cero es un punto aislado del complementario del dominio de \[ f(x) =1/x \].

Y lo que está mal, a mi parecer, es defender que la función \[ 1/x \] no puede ser continua porque en otro caso fallaría Bolzano, cuando Bolzano se enuncia para funciones definidas en todo un intervalo \[ [a,b] \]. Por supuesto que si una función no está definida en todo el intervalo Bolzano ya no se aplica, pero eso no dice nada sobre su continuidad o no.

Claro. Ahí está la "trampa". Se elude que el teorema de Bolzano se enuncia para funciones definidas en un intérvalo, pero el caso es que a mí no me parece ni más ni menos grave que la cuestión debatida originalmente. Es decir, no veo que decir que \[ f(x) =1/x \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano porque no es continua en \[ [-1,1] \] (aunque lo que pase es que hay puntos en los que no está definida) sea ni más ni menos grave que decir que no es continua en el cero.

Yo a eso lo llamo "singularidad evitable".  :P Precisamente para evitar la nomenclatura de "discontinuidad". Pero vamos, que es cuestión de nomenclatura y convenio.

Ah, pues mira. Es una opción muy coherente. Ahora que lo dices, se me ocurre que tal vez toda esta falta de convenio venga provocada por alguna traducción imprecisa al castellano de algún libro en otra lengua.

Como ejemplo para incidir en la idea pensemos en la función \( f(x)=x\ln(x^2-1) \). Creo que unos y otros estarían de acuerdo en afirmar que esta función es continua. La gráfica es esta:



¿Hay acaso algún conflicto entonces con el teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \) (sombreado en el dibujo)?. No. El Teorema no aplica porque la función no está definida en todos los puntos del intervalo \( [-1.3,1.3] \), y no tiene nada que ver la continuidad o no. Lo mismo con la función que nos ocupa.

Estoy de acuerdo en lo que dices, pero claro, el complementario del dominio de esta función no tiene puntos aislados. Creo que es en esa situación concreta en la que se acusa la falta de convenio.

Quiero hacer hincapié una vez más en que todo es cuestión de convenio. A mi no me parece tan mal el convenio que se usa en Bachillerato, pero es bueno que un profesor sea consciente de que las limitaciones del mismo. Creo que quien se meta en un debate de este tipo defienda una u otra posición tiene que hacer alusión a que todo depende de la definición de cada concepto (continuidad, discontinuidad). El conflicto prácticamente desaparece entonces.

Una vez más totalmente de acuerdo.

Tengo curiosidad por saber exactamente cómo desarrollan la teoría al respecto los libros de Bachillerato. Sospecho que muchos no son 100% rigurosos (y puede ser lógico por el nivel para el cuál están escritos), o dejan el el aire ciertos matices. Con rigurosos no me refiero a seguir uno u otro criterio, si no a presentar las cosas de manera totalmente coherente.

Buscando por internet libros descargables, me he topado con dos.

En este (continuidad: pág 237; discontinuidades: pág 239), si uno sigue al pie de la letra las definiciones, la función \( f(x)=\ln(x) \) sería, por ejemplo, discontinua en \( x=-4 \). Lo cual no tiene mucho sentido. El motivo es que para ser continua en un punto pone como condición que la función esté definida en él y luego define discontinuidad como un punto donde no es continua.

En este otro sin embargo define continuidad (pág 100 del PDF) sólo sobre puntos del dominio; después sin embargo permite hablar de discontinuidad evitable (pág 101 del PDF) en puntos donde no está definida pero si existen los límites laterales. Esto es más coherente. Simplemente ahí punto de discontinuidad no es lo mismo que punto donde no es continua.

Yo creo que lo que más se sigue en segundo de bachillerato es la segunda opción. De hecho, creo que es lo que quiere expresar el primero, aunque no haya estado del todo afortunado.

El inicio de la polémica estuvo en el twitt de otro youtuber conocido Juan Medina:

https://yosoytuprofe.20minutos.es/2022/01/14/la-funcion-es-continua-el-debate-de-dos-famosos-youtubers-david-calle-juan-medina/

El caso es que él dijo: "No me canso de decir que la función f(x)=1/x es CONTINUA."

A partir de ahí, creo, surgieron las réplicas de David Calle.

No me manejo muy bien con el Twitter porque me cuesta adivinar a quién le está contestando alguien cuando dice lo que sea. Tampoco entiendo qué quiere decir que algunas intervenciones tengan un tamaño de letra mayor que las otras. Pero les he echado un vistazo medio por encima a los enlaces y diría que existe la posibilidad de que estos dos ya vengan picados de antes por otro motivo...

Por rizar un poco el rizo, incluso podríamos decir que \( f:\hat{\mathbb C}\to \hat{\mathbb C},\, z\mapsto 1/z \) es continua (de hecho es una involución) donde \( \hat{\mathbb C} \) sería la esfera de Riemann. Por tanto cualquier restricción de \( f \) a algún subconjunto de \( \hat{\mathbb C} \) seguiría siendo continua.

Ya... Bueno, supongo que es muy importante lo del contexto.

Por curiosidad, entre estas frases, ¿cuáles os chirrían más y cuáles menos?

\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.
Para mí todas las oraciones son verdaderas (y por tanto bien formuladas), salvo la última, porque en \( x=0 \) la función no es ni continua ni discontinua; por lo tanto es falsa.
A mi me chirrian un poco las tres primeras, puesto que en realidad siempre he dado por hecho que cuando se dice que una función es continua lo es en su dominio (sino el dado, pues el dominio de existencia). Y después de haber leído el hilo y reforzar los conceptos de continuidad pues las últimas dos no estaría de acuerdo. Porque en \( x=0 \) no se puede estudiar la continuidad, luego no es ni continua ni deja de serlo.
Para mí: las dos primeras sin discusión, el resto me chirría más pero tampoco creo que estén mal.
También de acuerdo con geómetracat (él ha querido decir que las que menos le chirrían son las dos primeras).

Entiendo. Gracias chicos. Un saludo.

19 Enero, 2022, 11:37 am
Respuesta #16

Luis Fuentes

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Hola

 No quiero ser pesado, pero es que martiniano me sorprende un poco la insistencia con el asunto del Teorema de Bolzano. No se si capta lo que quiero decir.

Claro. Ahí está la "trampa". Se elude que el teorema de Bolzano se enuncia para funciones definidas en un intérvalo, pero el caso es que a mí no me parece ni más ni menos grave que la cuestión debatida originalmente. Es decir, no veo que decir que \[ f(x) =1/x \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano porque no es continua en \[ [-1,1] \] (aunque lo que pase es que hay puntos en los que no está definida) sea ni más ni menos grave que decir que no es continua en el cero.

Citar
Estoy de acuerdo en lo que dices, pero claro, el complementario del dominio de esta función no tiene puntos aislados. Creo que es en esa situación concreta en la que se acusa la falta de convenio.

Quiero hacer hincapié una vez más en que todo es cuestión de convenio. A mi no me parece tan mal el convenio que se usa en Bachillerato, pero es bueno que un profesor sea consciente de que las limitaciones del mismo. Creo que quien se meta en un debate de este tipo defienda una u otra posición tiene que hacer alusión a que todo depende de la definición de cada concepto (continuidad, discontinuidad). El conflicto prácticamente desaparece entonces.

Como he dicho el fondo de lo que se debate es pura cuestión de convenio y en el fondo en ese sentido no merece la pena discutirlo más.

Pero otra cosa es dar a entender, que es lo que hace David Calle y con lo que pareces estar de alguna forma de acuerdo, que el Teorema de Bolzano carga de razones a quien defiende el convenio de Bachillerato. Y eso, lo que de manera un tanto más tajante, si digo que no tiene sentido alguno.

El problema no es decir esto:

Citar
Es decir, no veo que decir que \[ f(x) =1/x \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano porque no es continua en \[ [-1,1] \] (aunque lo que pase es que hay puntos en los que no está definida) sea ni más ni menos grave que decir que no es continua en el cero.

Yo tampoco veo más grave una cosa que otra. El problema es usar eso como argumento para defender que no se debe decir que la función \( f(x)=1/x \) es continua (así, sin especificar nada más).

Soy consciente de que mi ejemplo \( f(x)=x\ln(x^2-1) \) es distinto en cuanto a la discusión original de lo que pasa en \( x=0 \) para \( 1/x \); pero lo veo sin embargo totalmente pertinente para hacer notar que el Teorema de Bolzano no sirve para argumentar nada al respecto.

Saludos.

19 Enero, 2022, 04:58 pm
Respuesta #17

martiniano

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Hola.

No quiero ser pesado, pero es que martiniano me sorprende un poco la insistencia con el asunto del Teorema de Bolzano. No se si capta lo que quiero decir.

¡Ahí va! Pues disculpadme vosotros si el insistente he sido yo, no me había dado cuenta. Luis, tú no has sido pesado en absoluto, no faltaba más. Además, creo que estamos diciendo más o menos lo mismo.

Pero otra cosa es dar a entender, que es lo que hace David Calle y con lo que pareces estar de alguna forma de acuerdo, que el Teorema de Bolzano carga de razones a quien defiende el convenio de Bachillerato. Y eso, lo que de manera un tanto más tajante, si digo que no tiene sentido alguno.

Estoy contigo. No aporta nada citar a Bolzano. He intentado transmitir esta misma idea aquí:

Él parece argumentar que si se admite que es continua, entonces el Teorema de Bolzano fallaría (no lo llega a decir explícitamente) para la función \( f(x)=1/x \) en \( [-a,a]. \) Pero el Teorema de Bolzano no falla, sino que simplemente no se puede aplicar porque no estamos en las hipótesis (no hay que hablar ni de continuidad): la función no está definida en ese intervalo.

Entonces si él tiene claro eso. ¿Por qué lo usa como argumento para reforzar que \( 1/x \) no se puede considerar continua?

Pues supongo que por lo que tú has dicho en el párrafo anterior. Supongo que su "defensa" consiste en algo así:

El teorema de Bolzano puede enunciarse como sigue:

Si \[ f(x) \] es continua en \[ [a, b] \] y \[ f(a) f(b) <0 \] entonces existe \[ c\in{(a, b) } \] tal que \[ f(c) =0 \].

Si \[ f(x) =1/x \] fuese continua en \[ [-1,1] \] como \[ f(-1)=-1<0 \] y  \[ f(1)=1>0 \] por Bolzano tendríamos que existe \[ x_0\in{(-1,1)} \] tal que \[ f(x_0)=0 \]. Como tal \[ x_0 \] no existe (y el teorema de Bolzano no puede fallar) entonces \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \].

A mí me parece que estamos en las mismas, pero bueno... Es decir, sigue estando abierto el debate sobre si \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \] ¿porque tiene puntos de discontinuidad, o porque tiene puntos en los que no está definida? (Y también está el detalle, un tanto tramposo, de que cuando enuncio el teorema de Bolzano no digo nada sobre el dominio de \[ f \]...).

Lo de que todo es cuestión de convenio ya ha quedado claro... Y en cuanto a esto:

El problema no es decir esto:

Citar
Es decir, no veo que decir que \[ f(x) =1/x \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano porque no es continua en \[ [-1,1] \] (aunque lo que pase es que hay puntos en los que no está definida) sea ni más ni menos grave que decir que no es continua en el cero.

Yo tampoco veo más grave una cosa que otra.

Pues parece que también estamos de acuerdo...

Si he insistido algo más de la cuenta con lo de Bolzano ha sido porque me asusté un poco al leer esto:

Otra cosa es que, en este caso particular, David Calle empezó una huída hacia delante en twitter defendiendo a muerte que la función \[ f(x)=1/x \] no era continua, y llegó a decir cosas como "si es continua, ¿cómo es que no se cumple el teorema de Bolzano en un intervalo \[ [-a,a] \]?", que a mi entender denotan un grave problema conceptual en un profesor de matemáticas.

No estaba al tanto de esto. Sí, su persistencia denota ya algo más serio, ya que esos conceptos son elementales, de primer año de carrera. Muy raro que alguien que dé clases de matemáticas no sepa eso.

Y digo que me asusté al leerlo porque no vi demasiada diferencia entre citar ahí a Bolzano y aferrarse a uno de los dos convenios (de hecho, me parece natural que alguien que no vea más allá del convenio de Bachillerato piense que así refuerza su idea). Y pensé, "¿a ver si voy a tener yo un error conceptual con el teorema de Bolzano y estoy viviendo ajeno al mismo?"  ;D Pero parece que no es eso, y que las diferencias que podamos tener en nuestras percepciones sobre todo esto se deben a matices mínimos sin demasiada importancia.

Por ejemplo, a mí me parece que el error más grave de David Calle (y error de Juan Medina también) es no ver que todo esto se debe a una cuestión de convenio, y otros pueden pensar que el error más grave es citar a Bolzano cuando no viene a cuento. Pero este matiz no tiene importancia alguna mientras todos tengamos claro que todo esto se debe en realidad a una cuestión de convenio y todos entendamos el teorema de Bolzano.

Gracias chicos. Un saludo.  ;)

23 Enero, 2022, 09:27 pm
Respuesta #18

Ignacio Larrosa

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Yo intervine activamente en esas discusiones en Twitter, lo que creo que no fue muy buena idea porque no es el marco idóneo para discusiones de este tipo. Es difícil seguir el orden de los hilos, no se sabe quién replica a quién ni a que, y rápidamente se exaltan los ánimos ...

Pero el problema que se suscitaba con el teorema de Bolzano, y en general con todos los teoremas de funciones continuas y de funciones continuas y derivables, es que usualmente se enuncian así: "Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ...". Si se afirma que f(x)=1/x es continua sin más apreciaciones, el alumno cuando va a aplicar el teorema entiende que si es continua, lo es siempre, en cualquier intervalo, por lo ni se plantea comprobar nada a este respecto, aplica el teorema y te dice que el teorema falla ...

Si convenimos en decir que una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio, debemos reformular estos enunciados y decir "Si f está definida y es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ..."

Por otra parte, la definición de continuidad a partir de las tres condiciones: 1. Existencia de la función, 2. Existencia del límite y 3. Igualdad de ambos, no es exclusiva del Bachillerato (en la ESO no recuerdo haber hablado nunca de nada remotamente relacionado con esto), ni de España. Y definir y clasificar las discontinuidades a partir de cuales de estas tres condiciones no se cumplen. Para muestra un botón extraído del 'Análisis Matemático' de Tom M. Apostol la primera y del 'Calculus' del mismo autor, aunque hay más, las otras dos:




Yo entiendo que implícitamente siempre está hablando de puntos de acumulación del dominio de la función, que es donde puede plantearse calcular un límite. No tiene mucho sentido, a mi modo de ver, hablar de la continuidad de la función en puntos del interior de intervalos que no son del dominio, como tampoco en puntos aislados del dominio.

Pero en definitiva, todo es cuestión de definiciones. Lo que es necesario es que las definiciones sean coherentes. Y conveniente que sean útiles y a ser posible fácilmente inteligibles a quienes están destinadas.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

23 Enero, 2022, 10:09 pm
Respuesta #19

Luis Fuentes

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Hola

Yo intervine activamente en esas discusiones en Twitter, lo que creo que no fue muy buena idea porque no es el marco idóneo para discusiones de este tipo. Es difícil seguir el orden de los hilos, no se sabe quién replica a quién ni a que, y rápidamente se exaltan los ánimos ...

Pero el problema que se suscitaba con el teorema de Bolzano, y en general con todos los teoremas de funciones continuas y de funciones continuas y derivables, es que usualmente se enuncian así: "Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ...". Si se afirma que f(x)=1/x es continua sin más apreciaciones, el alumno cuando va a aplicar el teorema entiende que si es continua, lo es siempre, en cualquier intervalo, por lo ni se plantea comprobar nada a este respecto, aplica el teorema y te dice que el teorema falla ...

Eso es entrar en la psicología del alumno; no dudo que hoy por hoy causaría problemas y el alumno pensase como tu dices. Pero realmente estaría entendiendo mal las cosas.

Porque TODOS los que estamos en este debate estamos de acuerdo en que \( 1/x \) NO es continua en \( x=0 \). El matiz es que para unos simplemente no está definida en ese punto y no tiene sentido hablar de continuidad (ni discontinuidad) en él; para otros si tiene sentido hablar de discontinuidad en él. Entonces si el alumno entiende que si es continua lo es en cualquier intervalo, pues entiende mal las cosas y hay que ayudarle a que las entienda bien. Si es continua es continua en cualquier subconjunto de su dominio (que tampoco es tan difícil de entender), no en el conjunto que nos de la gana.

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Si convenimos en decir que una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio, debemos reformular estos enunciados y decir "Si f está definida y es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ..."

No. La frase "continua en un conjunto \( U \)" significa continua en todos los puntos de \( U \). La frase continua a secas, significa continua en su dominio. Ambas son definiciones coherentes y compatibles. Entonces si se explican así las cosas no hay que reformular nada. La función \( 1/x \) no es continua en \( [-1,1] \) porque no está definida en \( x=0 \).

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Por otra parte, la definición de continuidad a partir de las tres condiciones: 1. Existencia de la función, 2. Existencia del límite y 3. Igualdad de ambos, no es exclusiva del Bachillerato (en la ESO no recuerdo haber hablado nunca de nada remotamente relacionado con esto), ni de España. Y definir y clasificar las discontinuidades a partir de cuales de estas tres condiciones no se cumplen. Para muestra un botón extraído del 'Análisis Matemático' de Tom M. Apostol la primera y del 'Calculus' del mismo autor, aunque hay más, las otras dos:




Lanzo algunas preguntas no retóricas (o a lo mejor un poquito si, o un poco capciosas, pero me gustaría una respuesta  :D):

1) Con la definición del Apóstol la función \(  ln(x) \) no es continua en \( -1 \). ¿Qué te parece eso?.
2) Ahondando en la anterior si no aceptamos que continua a secas significa continua en su dominio, la función \( ln(x) \) no es continua. ¿Dirías que no es continua la función logaritmo?.
3) La función que le proponía a Martiniano:

 
Como ejemplo para incidir en la idea pensemos en la función \( f(x)=x\ln(x^2-1) \). Creo que unos y otros estarían de acuerdo en afirmar que esta función es continua. La gráfica es esta:



¿Hay acaso algún conflicto entonces con el teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \) (sombreado en el dibujo)?. No. El Teorema no aplica porque la función no está definida en todos los puntos del intervalo \( [-1.3,1.3] \), y no tiene nada que ver la continuidad o no. Lo mismo con la función que nos ocupa.

¿Qué motivo darías tu para que no se pueda aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \)?. ¿Qué no está definida en todo el intervalo? ¿O aludirías a problemas de continuidad?. ¿Cómo se lo explicarías a un alumno?. Y otra cuestión más, ¿dirías que es una función continua? (estas preguntas me interesan especialmente)

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Yo entiendo que implícitamente siempre está hablando de puntos de acumulación del dominio de la función, que es donde puede plantearse calcular un límite. No tiene mucho sentido, a mi modo de ver, hablar de la continuidad de la función en puntos del interior de intervalos que no son del dominio, como tampoco en puntos aislados del dominio.

 Estoy de acuerdo. Pero por ejemplo, no veo que ese matiz aparezca en el Apóstol; no al menos en las páginas que has puesto. Seguro que aparece en la práctica, es decir, implícitamente pero no lo veo explícito. Si no se hace se llegaría al absurdo (en mi opinión) de que siguiendo su propio convenio tener que decir que la función logaritmo no es continua.

 Este es un problema (para discutir cuestiones sutiles) que veo de fondo en muchos apuntes y libros de Bachillerato y algunos Universitarios. No son totalmente rigurosos; dejan cabos sueltos. No es grave para entender las cosas. Pero para debatir estas sutilezas eso es un problema.

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Pero en definitiva, todo es cuestión de definiciones. Lo que es necesario es que las definiciones sean coherentes. Y conveniente que sean útiles y a ser posible fácilmente inteligibles a quienes están destinadas.

 Yo creo que cualquiera de los dos convenios pueden plantearse de manera totalmente coherente.

 Añado una cosa más, me parece que profesores Universitarios y de Bachillerato deberían de ser conscientes de la disparidad de criterios en esas definiciones y a la hora de corregir un ejercicio, sobre todo en las EBAU, permitir las dos posibilidades. En una asignatura donde el profesor marca las reglas, puede pasar que el profesor imponga su criterio; pero en las EBAU, que son pruebas externas, debería de haber sensibilidad a la posible disparidad de convenios.

Saludos.