[texerita]

Buenas tengo un ejercicio que dice así:

Sea \( T: R^3\rightarrow R^3 \) una TL /

T(1,0,0)= (2,1,0)
T(1,1,0)= (-1,2,3)
T(1,1,1)= (0,0,1)

¿Hay una única TL que verifique las condiciones dadas?

Mi respuesta fue: Sí, porque ya que conocemos los transformados de la base del dominio.

Y la otra parte dice:

Si es afirmativa entonces hallar T(3,2,1)


Y este fue mi desarrollo:

Tomo un vector genérico: \( (x,y,z) \)

Creo una cl con los elementos de la base y el vector genérico

\( (x,y,z) = a(2,1,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1) \)

Aplico la transformación a ambos lados

\( T(x,y,z) = T(a(2,1,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1)) \)

Uso propiedades de linealidad

\( T(x,y,z) = aT(2,1,0) + bT(1,1,0) + cT(1,1,1) \)

Sustituyo los transformados por sus correspondientes imágenes y me queda:

\( T(x,y,z) = (2a-b,a+2b,3b+c) \)

y como me pedía "hallar \( T(3,2,1) \)"

reemplazo a por 3, b por 2 y c por 1?

Esa es la duda que tengo porque son letras diferentes y me mareo jaja

Muchas gracias.

[mathtruco]

Hola texerita.

La primera parte es correcta, pero la segunda no. De hecho era más fácil de como lo planteaste, ya que sólo piden la transformaicón de un elemento por lo que no es necesario hallar la fórmula de la transformación. Puedes resolverlo como sigue:

    \( T(3,2,1)=T((1,0,0)+(1,1,0)+(1,1,1)) \)

                     \( =T(1,0,0)+T(1,1,0)+T(1,1,1) \)   (gracias a que \( T \) es lineal)

                     \( =(2,1,0)+(-1,2,3)+(0,0,1)=(1,3,4) \).


Aunque es más trabajo, para hallar la forma general de la transformación (lo que intentaste hacer) puedes hacer lo siguiente. Como \( \{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\} \) es una base (cosa que es fácil de probar), entonces todo elemento \( (x,y,z)\in R^3 \) puede escribirse como combinación lineal de esta base, esto es, existe escalares \( \alpha,\beta,\gamma\in R \) tales que

    \( (x,y,z)=\alpha(1,0,0)+\beta(1,1,0)+\gamma(1,1,1) \).

Hallar \( \alpha,\beta,\gamma \) es fácil (dependerán de \( x,y,z \), claro). Y usando que \( T \) es lineal

    \( T(x,y,z)=T(\alpha(1,0,0)+\beta(1,1,0)+\gamma(1,1,1)) \)

             \( =T(\alpha(1,0,0))+T(\beta(1,1,0))+T(\gamma(1,1,1)) \)

             \( =\alpha T(1,0,0)+\beta T(1,1,0)+\gamma T(1,1,1) \)

             \( =\alpha (2,1,0)+\beta (-1,2,3)+\gamma (0,0,1) \)


Falta hacer las cuentas, si quieres las haces y las discutimos. Pero como te menciono, el problema no requiere tanto, aunque es bueno que sepas como calcularlo.

[texerita]

Hola, es que  \( \alpha(2,1,0)+\beta(−1,2,3)+\gamma(0,0,1) \) eso mismo si aplico distributiva suponiendo que los coeficientes sean \( a,b,c \) me queda \( (2a-b,a+2b,3b+c) \) y si sustituyo \( x=a \), \( y=b \), \( z=c \), me da:


\( T(3,2,1) = (2(3)-2, 3+2(2), 3(2)+1) = (4, 7, 7) \)
Mensaje corregido desde la administración.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, es que  \( \alpha(2,1,0)+\beta(−1,2,3)+\gamma(0,0,1) \) eso mismo si aplico distributiva suponiendo que los coeficientes sean \( a,b,c \) me queda \( (2a-b,a+2b,3b+c) \) y si sustituyo \( x=a \), \( y=b \), \( z=c \), me da:

Es que lo estás interpretando mal. No tienes que igualar \( (x,y,z) \) a \( (a,b,c) \). De esta ecuación:

\( (x,y,z)=\alpha(1,0,0)+\beta(1,1,0)+\gamma(1,1,1) \)

que igualando componentes equivale a:

\( x=\alpha+\beta+\gamma \)
\( y=\beta+\gamma \)
\( z=\gamma \)

tienes que DESPEJAR \( \alpha,\beta,\gamma \) EN FUNCIÓN de \( x,y,z \).

\( T(3,2,1) = (2(3)-2, 3+2(2), 3(2)+1) = (4, 7, 7) \)

Si lo quieres hacer sólo para ese caso particular; no tienes que tomar \( (\alpha,\beta,\gamma)=(3,2,1) \) sino despejar de aquí:

\( (3,2,1)=\alpha(1,0,0)+\beta(1,1,0)+\gamma(1,1,1) \)

sus valores.

Saludos.

P.D. Por favor recuerda intentar usar LaTeX para las fórmulas. Si algo no te sale te ayudaresmos y/o te lo corregiremos nosotros.

[texerita]

\[ (x,y,z)=α(1,0,0)+β(1,1,0)+γ(1,1,1) \]

\[ x = \alpha + \beta + \gamma \]
\[ y = \beta + \gamma \]
\[ z = \gamma \]

Entonces me queda algo así:

\[z = \gamma \]
\[y-z = \beta \]
\[x-y = \alpha \]

\[ (x,y,z) = (x-y)(1,0,0) + (y-z)(1,1,0)+z(1,1,1) \]

\[ T(x,y,z) = T((x-y)(1,0,0)) + T((y-z)(1,1,0)) + T(z(1,1,1)) \]

\[ T(x,y,z) = (x-y)T(1,0,0) + (y-z)T(1,1,0) + zT(1,1,1) \]

\[ T(3,2,1) = 1(2,1,0) + 1(-1,2,3) + 1(0,0,1) = (1,3,4) \]

[ingmarov]

\[ (x,y,z)=α(1,0,0)+β(1,1,0)+γ(1,1,1) \]

\[ x = \alpha + \beta + \gamma \]
\[ y = \beta + \gamma \]
\[ z = \gamma \]

Entonces me queda algo así:

\[z = \gamma \]
\[y-z = \beta \]
\[x-y = \alpha \]

\[ (x,y,z) = (x-y)(1,0,0) + (y-z)(1,1,0)+z(1,1,1) \]

\[ T(x,y,z) = T((x-y)(1,0,0)) + T((y-z)(1,1,0)) + T(z(1,1,1)) \]

\[ T(x,y,z) = (x-y)T(1,0,0) + (y-z)T(1,1,0) + zT(1,1,1) \]

\[ T(3,2,1) = 1(2,1,0) + 1(-1,2,3) + 1(0,0,1) = (1,3,4) \]

Si no me equivoco la transformación escrita en forma matricial es:

\[ T=\begin{bmatrix}{2}&{-3}&{1}\\{1}&{1}&{-2}\\{0}&{3}&{-2}\end{bmatrix} \]

Y tu resultado es correcto.

Saludos

[ingmarov]

\[ (x,y,z)=α(1,0,0)+β(1,1,0)+γ(1,1,1) \]

\[ x = \alpha + \beta + \gamma \]
\[ y = \beta + \gamma \]
\[ z = \gamma \]

Entonces me queda algo así:

\[z = \gamma \]
\[y-z = \beta \]
\[x-y = \alpha \]

\[ (x,y,z) = (x-y)(1,0,0) + (y-z)(1,1,0)+z(1,1,1) \]

\[ T(x,y,z) = T((x-y)(1,0,0)) + T((y-z)(1,1,0)) + T(z(1,1,1)) \]

\[ T(x,y,z) = (x-y)T(1,0,0) + (y-z)T(1,1,0) + zT(1,1,1) \]

\[ T(3,2,1) = 1(2,1,0) + 1(-1,2,3) + 1(0,0,1) = (1,3,4) \]

Texerita ¿Conoces las propiedades de las transformaciones lineales?

Ya sabes que \[ (3,2,1)=(1,0,0)+(1,1,0)+(1,1,1) \]

Aplicando las propiedades de las transformaciones ¿Cómo puedes resolver

\[ T(3,2,1)=T\Big((1,0,0)+(1,1,0)+(1,1,1)\Big) \]   ?


Saludos

[texerita]

Hola, ya lo respondieron arriba eso, le aplico la transformación a cada vector por separado y luego hago la suma.

[ingmarov]

Hola, ya lo respondieron arriba eso, le aplico la transformación a cada vector por separado y luego hago la suma.

Así es. Muy bien.

Saludos