Autor Tema: Ejercicio desigualdad de Cauchy-Schwarz

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15 Enero, 2022, 08:11 pm
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Luiszwhmms

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Buenas,

El ejercicio dice:
Verificar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para las funciones \( f(x)=x \) y \( g(x)=e^x \) con respecto al producto escalar:

\( <f,g>=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)g(x)e^{-x} dx \)

en \( [0,1] \).

He probado a calcular las normas de \( f \) y \( g \) utilizando la fórmula de este producto escalar particular, pero la desigualdad no se cumple.
 ¿Debo utilizar la norma definida por \( L^2 \)?

Mensaje corregido desde la administración.

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.


15 Enero, 2022, 11:31 pm
Respuesta #1

mg

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Debes verificar que \( \left |{\left<{f,g}\right>}\right |^2\leq{}\left<{f,f}\right>\left<{g,g}\right> \).

Tienes que \( \left |{\left<{f,g}\right>}\right |^2=\left |{\displaystyle\int_{0}^{1}xdx}\right |^2=\left |{\displaystyle\frac{1}{2}}\right |^2=\displaystyle\frac{1}{4} \)

Por otro lado

\( \left<{f,f}\right>=\displaystyle\int_{0}^{1}x^2e^{-x}dx=\displaystyle\frac{-5}{e}+2 \)
\( \left<{g,g}\right>=\displaystyle\int_{0}^{1}e^xdx=e-1 \)

por tanto solo tienes que comprobar que \( \displaystyle\frac{1}{4}\leq{}(e-1)\cdot{}(\displaystyle\frac{-5}{e}+2) \)

Un saludo

16 Enero, 2022, 01:35 am
Respuesta #2

Luiszwhmms

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Lo he vuelto a intentar y había omitido el cuadrado, me sale el mismo resultado.
Muchas gracias por tu respuesta!