Autor Tema: Intersacción de espacios ortogonales

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15 Enero, 2022, 07:56 pm
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rubim

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Buenas a todos, como es el siguiente ejercicio?
Sean \[ V \] un espacio vectorial y \[ W_1, W_2, W_3 \] subespacios de \[ V \]. Demuestra que:
\[ (W_1 + W_2 + W_3)^\perp{} = W_1^\perp{} \cap{} W_2^\perp{} \cap{} W_3^\perp{} \]

No logro "ver" como sumar los subespacios y encontrar su ortogonal para la intersección,
Gracias!

15 Enero, 2022, 10:56 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola rubim

Bienvenido al foro

Es conveniente mostrar que has hecho por resolver el problema

Lo que tienes que demostrar equivale  :

i) Si \( \alpha \in{(W_1+W_2+W_3)^\perp{}}\Rightarrow{\alpha\in{W_1^\perp{}}\wedge \alpha\in{W_2^\perp{}}\wedge \alpha\in{W_3^\perp{}}} \)

Y

ii) Si \( \beta\in{(W_1^\perp{}\cap{W_2^\perp{}}\cap{W_3^\perp{}})}\Rightarrow{\beta\in{(W_1+W_2+W_3)^\perp{}}} \)

Un subespacio suma de dos o más subespacios esta formado por la suma de los elementos de estos subespacios

Demostrando el i)

Por definición \( <\alpha,a+b+c>=0, \ \forall{a\in{W_1},\forall{b\in{W_2}}}, \ \forall{c\in{W_3}} \) particularmente será válido cuando b=O,c=O en consecuencia \( <\alpha,a>=0, \forall{a}\in{W_1}\Rightarrow{\alpha\in{W_1^\perp{}}} \) de manera semejante se demuestra \( \alpha\in{W_2^\perp{}}\wedge \alpha\in{W_3^\perp{}} \)

¿Qué te parece si avanzas con ii)?

Saludos

15 Enero, 2022, 11:52 pm
Respuesta #2

rubim

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Hola rubim

Por definición \( <\alpha,a+b+c>=0 \)

Saludos

Hola! A que te refieres con \( <\alpha,a+b+c>=0 \)?Es decir, los < , >
A producto interior? Porque si es así justo no nos dan nigun producto interior definido

16 Enero, 2022, 12:43 am
Respuesta #3

delmar

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Sí, \( < \ , \ > \) es un producto interior para el espacio vectorial V, claro que no dan ninguno definido; pero se entiende que existe; por eso se habla de ortogonal


Saludos