Autor Tema: Integral para calcular el volumen de un sólido

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

15 Enero, 2022, 07:26 pm
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URama

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Me estoy volviendo loco con este ejercicio........

Me piden calcular el volumen del sólido limitado por dentro del cono \[ x^2+y^2=(z-1)^2 \] cuando \[ z\in[0,1/2] \] y exterior al cilindro \[ x^2+y^2=1/4 \].

Quiero pasar a cilíndricas, con \[ 1/2<r<1 \] y \( 0<\theta<2\pi \) pero entonces no puede ser que \[ 0<z<r+1 \] porque se sale del intervalo. He intentado cambiar el orden de integración pero no se si estoy ciego o que se me esta pasando algo...

Muchas gracias!

15 Enero, 2022, 08:45 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Te pongo un dibujo simplificado del problema



Cono, cilindro en amarillo y la región a integrar en verde. El cono lo dibujé solo para el intervalo z de interés.

¿Este dibujo te da una mejor idea para resolver el problema? Si no dilo.

Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

16 Enero, 2022, 01:35 am
Respuesta #2

delmar

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Hola

Solamente para complementar, el problema se puede resolver sin necesidad de hacer integrales, considerando el dibujo de ingmarov el volumen que te piden es la diferencia entre el volumen del cono mayor y la suma de los volúmenes del cilindro (amarillo) y el cono menor (rosado) con esto tienes el resultado y te sirve con fines de comprobación, entiendo que te piden uso de integrales dobles con coordenadas cilíndricas

Saludos

16 Enero, 2022, 07:12 pm
Respuesta #3

URama

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Hola

Te pongo un dibujo simplificado del problema



Cono, cilindro en amarillo y la región a integrar en verde. El cono lo dibujé solo para el intervalo z de interés.

¿Este dibujo te da una mejor idea para resolver el problema? Si no dilo.

Saludos

Hola, muchras gracias. Si ya me habia dibujado esto mismo yo varias veces pero esque aún así no consigo sacar el dominio para integrar.... Alguna pista?

16 Enero, 2022, 07:30 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 Para ver donde varía el radio fíjate en el eje \( X \): la parte en verde.

Spoiler
\( 1/2\leq r\leq 1 \)
[cerrar]

 La variable \( z \) va desde el \( 0 \) hasta el borde del cono.

Spoiler
\( 0\leq z\leq 1-r \)
[cerrar]

 El ángulo recorre todo su dominio.

Saludos.

16 Enero, 2022, 07:46 pm
Respuesta #5

URama

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Hola

 Para ver donde varía el radio fíjate en el eje \( X \): la parte en verde.

Spoiler
\( 1/2\leq r\leq 1 \)
[cerrar]

 La variable \( z \) va desde el \( 0 \) hasta el borde del cono.

Spoiler
\( 0\leq z\leq 1-r \)
[cerrar]

 El ángulo recorre todo su dominio.

Saludos.

Ostras claro! Es que a veces con las figuras tridimensionales me cuesta un poco verlos bien. Muchas gracias.