[katieChan]

Hola a todos!
Como puedo probar que la siguiente transformación es cuadrática?
Sea \[ V=M_n(\mathbb{R}) \] y considera la transformación \[ q:V \rightarrow{V} \] definida por
\[ q(A) = Tr(A^TA)+Tr(A)^2 \]
Se me ocurre que podría obtener su forma bilineal y de esta probar que en efecto es bilineal pero no hay ningún resultado que garantice que así sea, es decir, el que hayamos encontrado su forma bilineal no implica que esta sea cuadratica
Alguna idea? Gracias!

[geómetracat]

Si \[ q(A,B) \] es una forma bilineal entonces \[ q(A,A) \] es siempre una forma cuadrática. Por tanto basta con encontrar una forma bilineal \[ q(A,B) \] que cumpla que \[ q(A,A)=Tr(A^TA)+Tr(A)^2 \]. En este caso es fácil ver que \[ q(A,B)=Tr(A^TB) + Tr(A)Tr(B) \] funciona.

Más en general, otra forma que sirve siempre es que una aplicación \[ q:V \to k \] es una forma cuadrática si y solo si:
1) \[ q(\lambda x) = \lambda^2 q(x) \]
2) \[ q(x+y)-q(x)-q(y) \] es una forma bilineal
Y de hecho, la forma bilineal simétrica asociada a la forma cuadrática es la mitad de la que aparece en 2).

Así que también puedes comprobar que se cumplen esas dos condiciones para probar que tienes una forma cuadrática y encontrar su forma bilineal asociada. Pero en este caso es mucho más corto el primer camino que te indico, porque la forma bilineal asociada se ve a ojo.

[Luis Fuentes]

Hola

Si \[ q(A,B) \] es una forma bilineal entonces \[ q(A,A) \] es siempre una forma cuadrática. Por tanto basta con encontrar una forma bilineal \[ q(A,B) \] que cumpla que \[ q(A,A)=Tr(A^TA)+Tr(A)^2 \]. En este caso es fácil ver que \[ q(A,B)=Tr(A^TB) + Tr(A)Tr(B) \] funciona.

Más en general, otra forma que sirve siempre es que una aplicación \[ q:V \to k \] es una forma cuadrática si y solo si:
1) \[ q(\lambda x) = \lambda^2 q(x) \]
2) \[ q(x+y)-q(x)-q(y) \] es una forma bilineal
Y de hecho, la forma bilineal simétrica asociada a la forma cuadrática es la mitad de la que aparece en 2).

De todas formas, por lo indicado en rojo, si no ves "a ojo" esa forma bilineal candidata la puedes hallar usando (2) (y es muy rápido):

\( f(A,B)=\dfrac{1}{2}(q(A+B)-q(A)-q(B)) \)

Si haces las cuentas obtendrás \( f(A,B)=Tr(A^TB) + Tr(A)Tr(B) \). Por en medio te será útil recordar que la traza de una matriz y de su traspuesta coinciden.

Saludos.

[katieChan]

Hola

\( f(A,B)=\dfrac{1}{2}(q(A+B)-q(A)-q(B)) \)

Si haces las cuentas obtendrás \( f(A,B)=Tr(A^TB) + Tr(A)Tr(B) \). Por en medio te será útil recordar que la traza de una matriz y de su traspuesta coinciden.

Saludos.

Hola! Ayuda, no me salen las cuentas

Intento seguir que \( f(A,B)=\dfrac{1}{2}(q(A+B)-q(A)-q(B)) \), así tenemos que
\[ f(A,B)=\dfrac{1}{2}  Tr((A+B)^t(A+B))+Tr(A+B)^2 -Tr(A^tA)-Tr(A)^2 -Tr(B^tB)+Tr(B)^2) \]
Como \[ Tr(A^tA) = Tr(A)^2 \] tenemos que
\[ f(A,B)=\dfrac{1}{2} (2Tr(A+B)^2 - 2Tr(A)^2 - 2Tr(B)^2)  \]
\[ f(A,B)=Tr(A+B)^2 - Tr(A)^2 -Tr(B)^2 \] pero esto no coincide con el resultado dado :/

Y gracias por el apoyo

[martiniano]

Hola.

Como \[ Tr(A^tA) = Tr(A)^2 \]

Diría que esto último es falso. Toma como contraejemplo sencillo \[ A=I \] de orden mayor a \[ 1 \].

En lugar de eso desarrolla el producto:

\[ (A^t+B^t) (A+B)  \]

Y ten en cuenta, por lo que dice Luis, que:

\[ Tr(A^tB) =Tr((A^tB) ^t) =Tr(B^tA)  \]

Donde he usado que la traspuesta de un producto de matrices cuadradas es el producto de traspuestas permutadas.

Si no concluyes vuelve a insistir. Un saludo.

[katieChan]

En lugar de eso desarrolla el producto:

\[ (A^t+B^t) (A+B) \]

Al desarrollar el producto me queda que \[ (A^t+B^t) (A+B) = (A+B)^2  \] y caigo en el mismo error de no coincidir con las cuentas

[geómetracat]

Tus cuentas están mal, no es verdad que \[ (A^t+B^t)(A+B)=(A+B)^2 \]. Lo correcto es \[ (A^t+B^t)(A+B)=A^tA+A^tB+B^tA+B^tB \]. Ahora usa lo que te dijo martiniano junto con que la traza de una suma de matrices es la suma de las trazas.