Autor Tema: Intuición/Visualización de la fórmula de Pascal.

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14 Diciembre, 2021, 02:10 am
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Samir M.

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Supongamos que tenemos un grupo de \( n+1 \) personas, y que queremos formar un comité de \( k \) personas. Supongamos que una de esas personas, se llama Pablo. Si apartamos a Pablo del grupo, tenemos exactamente \( \binom{n}{k} \) formas de organizar ese comité con personas distintas de Pablo. Supongamos que ahora Pablo es siempre miembro del grupo. Entonces podemos elegir \( (k-1) \) personas para que formen el comité con Pablo de las \( n \) personas disponibles, o sea, \( \binom{n}{k-1} \). Está claro que ambos conjuntos de personas son disjuntos; contienen a Pablo o no. Además, la suma (unión) de ambos conjuntos nos da la manera de elegir el comité con Pablo y sin él. Por tanto, nos está dando la manera de elegir \( k \) personas (con o sin Pablo) de las \( n+1 \) personas disponibles. O sea, \( \binom{n+1}{k} \). Y así:

\( \displaystyle \binom{n}{k}+ \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}  \)
\[  e^{H_n}=\prod_{k=1}^n e^{1/k}\gt\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right)=n+1 \therefore H_n\gt\log(n+1) \]