[valeprz]

Sea \( \left\{{{S_t}}\right\}_\left\{{t\geq{0}}\right\} \) un proceso de Poisson de parámetro \( λ(t) = t/2 \) para \( t\geq{0} \). Encontrar:
\( a) P(S_2 = 5). \)
\( b) P(S_5 = 8|S_2 = 3). \)
\( c) E(S_5|S_2 = 5). \)

[Masacroso]

Sea \( \left\{{{S_t}}\right\}_\left\{{t\geq{0}}\right\} \) un proceso de Poisson de parámetro \( λ(t) = t/2 \) para \( t\geq{0} \). Encontrar:
\( a) P(S_2 = 5). \)
\( b) P(S_5 = 8|S_2 = 3). \)
\( c) E(S_5|S_2 = 5). \)

Hola valeprz, este foro no está pensado como un sitio en el cual se le resuelvan los ejercicios a otros, sino más bien como un foro donde ayudar a resolver las cuestiones por sí mismas dando pistas o clarificando dudas sobre los problemas que se haya encontrado a la hora de resolverlas.

Así sin más, sin saber lo que has intentado para resolver el ejercicio, lo que no entiendes o dónde te hayas quedado atascado, no puedo ayudarte a resolver el ejercicio. Sólo decirte que el ejercicio es trivial para alguien que conoce mínimamente la teoría sobre procesos de Poisson.

[Luis Fuentes]

Hola

 Te doy alguna orientación.

Sea \( \left\{{{S_t}}\right\}_\left\{{t\geq{0}}\right\} \) un proceso de Poisson de parámetro \( \lambda (t) = t/2 \) para \( t\geq{0} \). Encontrar:

\( a) P(S_2 = 5). \)

Tienes que \( S_t \) es una Poisson de parámetro \( \lambda(t)=t/2 \) y por tanto:

\( P(S_t=n)=\dfrac{e^{-\lambda(t)}\lambda(t)^n}{n!} \)

\( b) P(S_5 = 8|S_2 = 3). \)

Se tiene que \( S_{a+b}-S_a \) es independiente de \( S_a \) (con \( b\geq 0 \)) y con las misma distribución que \( S_b \). Entonces:

\( b) P(S_5 = 8|S_2 = 3)=P(S_5-S_2=8-3)=P(S_3=5) \)

\( c) E(S_5|S_2 = 5). \)

Por lo mismo que en el apartado anterior:

\( P(S_5=x|S_2=5)=P(S_3=x-5) \)

Por tanto \( (S_5|S_2=5)=S_3+5 \) y:

\( E(S_5|S_2=5)=E[S_{5-2}+5]=5+E[S_3] \)

Saludos.